Bài tập nâng cao · Bài 64
Dạng 3. Min – Max
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 64
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A(-6;3),B(3;-2),C(3;2)$. Điểm $M(a;b)$ nằm trên đường thẳng $d:2x-y-3=0$ sao cho $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|$ nhỏ nhất. Giá trị $a^2+b^2$ là:
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ $\Rightarrow G(0;1)$.
Ta có $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3MG$. Do đó để $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|$ nhỏ nhất, $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên đường thẳng $d:y=2x-3$.
Gọi $M\in d\Rightarrow M(x;2x-3)\Rightarrow \overrightarrow{GM}=(x;2x-4)$, mà VTCP của $d$ là $\vec u=(1;2)$.
Khi đó ta có $\overrightarrow{GM}.\vec u=0\Leftrightarrow x+4x-8=0\Leftrightarrow x=\frac85\Rightarrow M\left(\frac85;\frac15\right)$ $\Rightarrow a^2+b^2=\frac{13}{5}$.
Ta có $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3MG$. Do đó để $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|$ nhỏ nhất, $M$ là hình chiếu vuông góc của $G$ trên đường thẳng $d:y=2x-3$.
Gọi $M\in d\Rightarrow M(x;2x-3)\Rightarrow \overrightarrow{GM}=(x;2x-4)$, mà VTCP của $d$ là $\vec u=(1;2)$.
Khi đó ta có $\overrightarrow{GM}.\vec u=0\Leftrightarrow x+4x-8=0\Leftrightarrow x=\frac85\Rightarrow M\left(\frac85;\frac15\right)$ $\Rightarrow a^2+b^2=\frac{13}{5}$.