Bài tập nâng cao · Bài 65
Dạng 3. Min – Max
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 65
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta:x+y+2=0$ và hai điểm $A(-1;2)$, $B(3;-4)$. Điểm $M(a;b)$ thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $2a+b$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ $\Rightarrow I(1;-1)$. Khi đó $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=2|\overrightarrow{MI}|=2MI$.
Vậy $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\Delta$.
Ta có $M\in\Delta:x+y+2=0$ $\Rightarrow M(t;-t-2)$ $\Rightarrow \overrightarrow{IM}=(t-1;-t-1)$.
$\vec u_\Delta=(-1;1)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$.
$IM\perp\Delta$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{IM}.\vec u_\Delta=0$ $\Leftrightarrow -2t=0$ $\Leftrightarrow t=0$ $\Rightarrow M(0;-2)$. Vậy $2a+b=-2$.
Vậy $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\Delta$.
Ta có $M\in\Delta:x+y+2=0$ $\Rightarrow M(t;-t-2)$ $\Rightarrow \overrightarrow{IM}=(t-1;-t-1)$.
$\vec u_\Delta=(-1;1)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$.
$IM\perp\Delta$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{IM}.\vec u_\Delta=0$ $\Leftrightarrow -2t=0$ $\Leftrightarrow t=0$ $\Rightarrow M(0;-2)$. Vậy $2a+b=-2$.