Bài tập nâng cao · Bài 66
Dạng 3. Min – Max
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 66
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(1;-1)$, $B(3;2)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trục tung sao cho $MA^2+MB^2$ nhỏ nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
Ta có $M\in Oy$ nên $M(0;m)$ và $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{MA}=(1;-1-m) \\ \overrightarrow{MB}=(3;2-m) \end{array} \right.$.
Khi đó $MA^2+MB^2=|\overrightarrow{MA}|^2+|\overrightarrow{MB}|^2$ $=1^2+(-1-m)^2+3^2+(2-m)^2$ $=2m^2-2m+15$.
$=2\left(m-\frac12\right)^2+\frac{29}{2}\geq\frac{29}{2}$, $\forall m\in\mathbb R$.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của $MA^2+MB^2$ bằng $\frac{29}{2}$ khi $m=\frac12$ $\Rightarrow M\left(0;\frac12\right)$.
Cách 2:
Gọi $I$ là trung điểm của $AB\Rightarrow I\left(2;\frac12\right)$.
Ta có: $MA^2+MB^2=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2=2MI^2+IA^2+IB^2+2\overrightarrow{MI}.(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})$.
$=2MI^2+IA^2+IB^2$.
$MA^2+MB^2$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $Oy$.
Vậy $M\left(0;\frac12\right)$.
Ta có $M\in Oy$ nên $M(0;m)$ và $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{MA}=(1;-1-m) \\ \overrightarrow{MB}=(3;2-m) \end{array} \right.$.
Khi đó $MA^2+MB^2=|\overrightarrow{MA}|^2+|\overrightarrow{MB}|^2$ $=1^2+(-1-m)^2+3^2+(2-m)^2$ $=2m^2-2m+15$.
$=2\left(m-\frac12\right)^2+\frac{29}{2}\geq\frac{29}{2}$, $\forall m\in\mathbb R$.
Suy ra giá trị nhỏ nhất của $MA^2+MB^2$ bằng $\frac{29}{2}$ khi $m=\frac12$ $\Rightarrow M\left(0;\frac12\right)$.
Cách 2:
Gọi $I$ là trung điểm của $AB\Rightarrow I\left(2;\frac12\right)$.
Ta có: $MA^2+MB^2=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})^2+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})^2=2MI^2+IA^2+IB^2+2\overrightarrow{MI}.(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})$.
$=2MI^2+IA^2+IB^2$.
$MA^2+MB^2$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MI$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $Oy$.
Vậy $M\left(0;\frac12\right)$.