Bài tập nâng cao · Bài 67
Dạng 3. Min – Max
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 67
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $M(-1;-2)$; $N(3;2)$ và $P(4;-1)$. Tìm tọa độ điểm $E$ thuộc $Ox$ sao cho $|\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EP}|$ nhỏ nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
Vì $E$ thuộc $Ox$ nên $E(a;0)$. Ta có $\overrightarrow{EM}=(-1-a;-2)$, $\overrightarrow{EN}=(3-a;2)$, $\overrightarrow{EP}=(4-a;-1)$.
$\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EP}=(6-3a;-1)$.
Do đó $|\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EP}|=\sqrt{(6-3a)^2+(-1)^2}$ $=\sqrt{(6-3a)^2+1}\geq1, \forall a\in\mathbb R$.
Dấu bằng xảy ra khi $6-3a=0\Leftrightarrow a=2\Rightarrow E(2;0)$.
Cách 2:
Dễ thấy $M,N,P$ không thẳng hàng.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MNP$. Khi đó $G\left(2;-\frac13\right)$.
Ta có $|\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EP}|=|3\overrightarrow{EG}|=3EG$.
Do đó $|\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EP}|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $EG$ nhỏ nhất.
Hơn nữa $E\in Ox$ nên $E$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên $Ox$.
Vậy $E(2;0)$.
Vì $E$ thuộc $Ox$ nên $E(a;0)$. Ta có $\overrightarrow{EM}=(-1-a;-2)$, $\overrightarrow{EN}=(3-a;2)$, $\overrightarrow{EP}=(4-a;-1)$.
$\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EP}=(6-3a;-1)$.
Do đó $|\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EP}|=\sqrt{(6-3a)^2+(-1)^2}$ $=\sqrt{(6-3a)^2+1}\geq1, \forall a\in\mathbb R$.
Dấu bằng xảy ra khi $6-3a=0\Leftrightarrow a=2\Rightarrow E(2;0)$.
Cách 2:
Dễ thấy $M,N,P$ không thẳng hàng.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MNP$. Khi đó $G\left(2;-\frac13\right)$.
Ta có $|\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EP}|=|3\overrightarrow{EG}|=3EG$.
Do đó $|\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{EN}+\overrightarrow{EP}|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $EG$ nhỏ nhất.
Hơn nữa $E\in Ox$ nên $E$ là hình chiếu vuông góc của $G$ lên $Ox$.
Vậy $E(2;0)$.