Bài tập nâng cao · Bài 68
Dạng 3. Min – Max
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 68
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(0;1),B(6;3)$. Biết $M(a;b)$ là điểm thuộc đường thẳng $d:x-y=0$ sao cho $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị biểu thức $a+b$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, tọa độ điểm $I$ là $I(3;2)$.
Ta có $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|2\overrightarrow{MI}|$ suy ra $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ nhỏ nhất khi $|2\overrightarrow{MI}|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M$ là hình chiếu của $I$ trên $d:x-y=0$.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $I(3;2)$ và vuông góc $d:x-y=0$ là $\left\{ \begin{array}{l} x=3+t \\ y=2-t \end{array} \right.,t\in\mathbb R$.
Tọa độ $M$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x=3+t \\ y=2-t \\ x-y=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=-\frac12 \\ x=\frac52 \\ y=\frac52 \end{array} \right.$ hay $M\left(\frac52;\frac52\right)$.
Vậy $a+b=5$.
Ta có $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|=|2\overrightarrow{MI}|$ suy ra $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ nhỏ nhất khi $|2\overrightarrow{MI}|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M$ là hình chiếu của $I$ trên $d:x-y=0$.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $I(3;2)$ và vuông góc $d:x-y=0$ là $\left\{ \begin{array}{l} x=3+t \\ y=2-t \end{array} \right.,t\in\mathbb R$.
Tọa độ $M$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x=3+t \\ y=2-t \\ x-y=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=-\frac12 \\ x=\frac52 \\ y=\frac52 \end{array} \right.$ hay $M\left(\frac52;\frac52\right)$.
Vậy $a+b=5$.