Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước
Phương pháp
Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M.
-Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Nếu $M(x_M;y_M)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì
$x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2};y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$.
-Cho tam giác $ABC$ có $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B),C(x_C;y_C)$. Nếu $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì
$x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$.
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 38
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các vectơ $a=3\cdot i-2\cdot j,b=(4;-1)$ và các điểm $M(-3;6),N(3;-3)$.
a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $2a-b$.
b) Các điểm $O,M,N$ có thẳng hàng hay không?
c) Tìm điểm $P(x;y)$ để $OMNP$ là một hình bình hành.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $b=(4;-1)$ và $a=3\cdot i-2\cdot j\Rightarrow a(3;-2)$
$\Rightarrow2a-b=(2\cdot3-4;2\cdot(-2)-(-1))=(2;-3)$
Lại có: $M(-3;6),N(3;-3)$
$\Rightarrow\overrightarrow{MN}=(3-(-3);-3-6)=(6;-9)$
Dễ thấy: $(6;-9)=3\cdot(2;-3)\Rightarrow\overrightarrow{MN}=3(2a-b)$
b) Ta có: $\overrightarrow{OM}=(-3;6)$ (do $M(-3;6)$) và $\overrightarrow{ON}=(3;-3)$ (do $N(3;-3)$).
Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{-3}{3}\neq\frac{6}{-3}$).
Do đó các điểm $O,M,N$ không cùng nằm trên một đường thẳng.
Vậy chúng không thẳng hàng.
c) Các điểm $O,M,N$ không thẳng hàng nên $OMNP$ là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{PN}$.
Do $\overrightarrow{OM}=(-3;6),\overrightarrow{PN}=(3-x;-3-y)$ nên
$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{PN}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-3=3-x\\6=-3-y\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=6\\y=-9\end{array}\right.$
Vậy điểm cần tìm là $P(6;-9)$.
