Bài tự luận · Bài 37
Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M. -Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Nếu $M(x_M;y_M)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2};y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$. -Cho tam giác $ABC$ có $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B),C(x_C;y_C)$. Nếu $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$.
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 37
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho ba điểm $A(1;-2),B(3;2),C(7;4)$.
a) Tìm toạ độ của các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$. So sánh các khoảng cách từ $B$ tới $A$ và $C$.
b) Ba điểm $A,B,C$ có thẳng hàng hay không?
c) Tìm điểm $D(x;y)$ để $ABCD$ là một hình thoi.
a) Tìm toạ độ của các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$. So sánh các khoảng cách từ $B$ tới $A$ và $C$.
b) Ba điểm $A,B,C$ có thẳng hàng hay không?
c) Tìm điểm $D(x;y)$ để $ABCD$ là một hình thoi.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(3-1;2-(-2))=(2;4),\overrightarrow{BC}=(7-3;4-2)=(4;2)$.
Các khoảng cách từ $B$ tới $A$ và $C$ lần lượt là:
$AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5};BC=\|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$.
Do đó các khoảng cách này bằng nhau.
b) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;4),\overrightarrow{BC}=(4;2)$ không cùng phương (vì $\frac{2}{4}\neq\frac{4}{2}$). Do đó các điểm $A,B,C$ không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.
c) Các điểm $A,B,C$ không thẳng hàng và $BA=BC$ nên $ABCD$ là một hình thoi khi và chỉ khi $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
Do $\overrightarrow{AD}=(x-1;y+2),\overrightarrow{BC}=(4;2)$ nên
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-1=4\\y+2=2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=5\\y=0.\end{array}\right.$
Vậy điểm cần tìm là $D(5;0)$.
Các khoảng cách từ $B$ tới $A$ và $C$ lần lượt là:
$AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5};BC=\|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$.
Do đó các khoảng cách này bằng nhau.
b) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;4),\overrightarrow{BC}=(4;2)$ không cùng phương (vì $\frac{2}{4}\neq\frac{4}{2}$). Do đó các điểm $A,B,C$ không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.
c) Các điểm $A,B,C$ không thẳng hàng và $BA=BC$ nên $ABCD$ là một hình thoi khi và chỉ khi $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
Do $\overrightarrow{AD}=(x-1;y+2),\overrightarrow{BC}=(4;2)$ nên
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-1=4\\y+2=2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=5\\y=0.\end{array}\right.$
Vậy điểm cần tìm là $D(5;0)$.