Bài tự luận · Bài 39
Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M. -Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Nếu $M(x_M;y_M)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2};y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$. -Cho tam giác $ABC$ có $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B),C(x_C;y_C)$. Nếu $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$.
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 39
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho các điểm $A(1;3),B(2;4),C(-3;2)$.
a) Hãy giải thích vì sao các điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$.
c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
d) Tìm điểm $D(x;y)$ để $O(0;0)$ là trọng tâm của tam giác $ABD$.
a) Hãy giải thích vì sao các điểm $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$.
c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
d) Tìm điểm $D(x;y)$ để $O(0;0)$ là trọng tâm của tam giác $ABD$.
Xem lời giải
Lời giải
a)
Ta có:
$\overrightarrow{AB}=(2-1;4-3)=(1;1),\overrightarrow{AC}=(-3-1;2-3)=(-4;-1)$
Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{1}{-4}\neq\frac{1}{-1}$).
Do đó các điểm $A,B,C$ không cùng nằm trên một đường thẳng.
Vậy chúng không thẳng hàng.
b) Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là $\left(\frac{1+2}{2};\frac{3+4}{2}\right)=\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right)$
c) Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ là $\left(\frac{1+2+(-3)}{3};\frac{3+4+2}{3}\right)=(0;3)$
d) Để $O(0;0)$ là trọng tâm của tam giác $ABD$ thì
$(0;0)=\left(\frac{x_A+x_B+x_D}{3};\frac{y_A+y_B+y_D}{3}\right)$
$\Leftrightarrow(0;0)=\left(\frac{1+2+x}{3};\frac{3+4+y}{3}\right)$
$\Leftrightarrow(0;0)=(1+2+x;3+4+y)$
$\Leftrightarrow(0;0)=(x+3;y+7)$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}0=x+3\\0=y+7\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-3\\y=-7\end{array}\right.$
Vậy tọa độ điểm $D$ là $(-3;-7)$.
Ta có:
$\overrightarrow{AB}=(2-1;4-3)=(1;1),\overrightarrow{AC}=(-3-1;2-3)=(-4;-1)$
Hai vectơ này không cùng phương (vì $\frac{1}{-4}\neq\frac{1}{-1}$).
Do đó các điểm $A,B,C$ không cùng nằm trên một đường thẳng.
Vậy chúng không thẳng hàng.
b) Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là $\left(\frac{1+2}{2};\frac{3+4}{2}\right)=\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right)$
c) Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ là $\left(\frac{1+2+(-3)}{3};\frac{3+4+2}{3}\right)=(0;3)$
d) Để $O(0;0)$ là trọng tâm của tam giác $ABD$ thì
$(0;0)=\left(\frac{x_A+x_B+x_D}{3};\frac{y_A+y_B+y_D}{3}\right)$
$\Leftrightarrow(0;0)=\left(\frac{1+2+x}{3};\frac{3+4+y}{3}\right)$
$\Leftrightarrow(0;0)=(1+2+x;3+4+y)$
$\Leftrightarrow(0;0)=(x+3;y+7)$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}0=x+3\\0=y+7\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-3\\y=-7\end{array}\right.$
Vậy tọa độ điểm $D$ là $(-3;-7)$.