Bài tập nâng cao · Bài 40
Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 40
(Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2021) Cho hàm số $f(x)=x^3+2x-5^m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $[-6;6]$ để bất phương trình $f(f(x))\geq x$ đúng với mọi $x$ thuộc khoảng $(2;6)$?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $f(f(x))\geq x\Leftrightarrow f(f(x))+f(x)\geq f(x)+x$.
Xét hàm số $h(t)=f(t)+t$ trên tập số thực $\mathbb{R}$.
Ta có $h'(t)=3t^2+3>0,\forall t\in\mathbb{R}$. Suy ra hàm số $h(t)=f(t)+t$ luôn đồng biến trên tập $\mathbb{R}$.
Suy ra $f(f(x))+f(x)\geq f(x)+x\Leftrightarrow f(x)\geq x\Leftrightarrow x^3+x\geq5^m$.
Để $f(f(x))\geq x\Leftrightarrow x^3+x\geq5^m$ đúng với mọi $x$ thuộc khoảng $(2;6)$
$\Leftrightarrow \min_{[2;6]}(x^3+x)\geq5^m\Leftrightarrow2^3+2\geq5^m\Leftrightarrow m\leq\log_5 10$.
Do $m$ là số nguyên thuộc đoạn $[-6;6]$ nên $m\in\{-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1\}$.
Vậy có 8 giá trị nguyên của $m$ cần tìm.
Xét hàm số $h(t)=f(t)+t$ trên tập số thực $\mathbb{R}$.
Ta có $h'(t)=3t^2+3>0,\forall t\in\mathbb{R}$. Suy ra hàm số $h(t)=f(t)+t$ luôn đồng biến trên tập $\mathbb{R}$.
Suy ra $f(f(x))+f(x)\geq f(x)+x\Leftrightarrow f(x)\geq x\Leftrightarrow x^3+x\geq5^m$.
Để $f(f(x))\geq x\Leftrightarrow x^3+x\geq5^m$ đúng với mọi $x$ thuộc khoảng $(2;6)$
$\Leftrightarrow \min_{[2;6]}(x^3+x)\geq5^m\Leftrightarrow2^3+2\geq5^m\Leftrightarrow m\leq\log_5 10$.
Do $m$ là số nguyên thuộc đoạn $[-6;6]$ nên $m\in\{-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1\}$.
Vậy có 8 giá trị nguyên của $m$ cần tìm.