(Sở Hà Tĩnh 2022) Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có $f'(1)=3$ và có đồ thị như hình vẽ bên.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in[-10;10]$ để phương trình $\ln\frac{f(x)}{3mx^2}+x[f(x)-3mx]=3mx^3-f(x)$ có hai nghiệm dương phân biệt?
Xem lời giải
Lời giải
Do yêu cầu bài toán là phương trình có hai nghiệm dương phân biệt nên ta chỉ xét $x>0$. Giả sử $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. Vì đồ thị đi qua các điểm $A\left(-\frac{5}{4};\frac{131}{64}\right),B(0;4),C(1;5)$ nên ta có
$\left\{\begin{array}{l}-\frac{125}{64}a+\frac{25}{16}b-\frac{5}{4}c+d=\frac{131}{64}\\d=4\\a+b+c+d=5\end{array}\right.\quad(1)$
Ta có $f'(1)=3\Leftrightarrow3a+2b+c=3$. (2)
Từ (1) và (2) ta có $a=1,b=0,c=0,d=4$, suy ra $f(x)=x^3+4$.
Điều kiện $\frac{f(x)}{3mx^2}>0\Rightarrow m>0$.
$\ln\frac{f(x)}{3mx^2}+x[f(x)-3mx]=3mx^3-f(x)$
$\Leftrightarrow \ln f(x)-\ln(3mx^2)+x[f(x)-3mx]+f(x)-3mx^3=0$.
Nếu $f(x)>3mx^2$ thì $\ln f(x)>\ln(3mx^2)$ và $xf(x)>x(3mx^2),\forall x>0$, suy ra phương trình vô nghiệm.
Tương tự nếu $f(x)<3mx^2$ thì phương trình vô nghiệm.
Do đó $f(x)=3mx^2\Leftrightarrow x^3+4=3mx^2\Leftrightarrow\frac{x^3+4}{3x^2}=m$, vì $x>0$.
Xét hàm số $g(x)=\frac{x^3+4}{3x^2}$ với $x>0$.
$g'(x)=\frac{3x^4-24x}{9x^4}=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=0\\x=2\end{array}\right.$.
Vì $x>0$ nên ta nhận $x=2$. Ta có bảng biến thiên
Để phương trình $\frac{x^3+4}{3x^2}=m$ có hai nghiệm dương phân biệt thì $m>1$.
Mà $m\in\mathbb{Z}$ và $m\in[-10;10]$ nên $m\in\{2;3;\ldots;10\}$. Vậy có 9 giá trị nguyên của tham số $m$ thoả yêu cầu bài toán.
