(Sở Nam Định 2022) Cho hàm số đa thức bậc ba $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f'(f(x)+m)=0$ có đúng bốn nghiệm thực phân biệt?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $f'(f(x)+m)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}f(x)+m=-1\\f(x)+m=2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}f(x)=-m-1\\f(x)=-m+2\end{array}\right.$.
Phương trình trên có 4 nghiệm
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}-m-1=1\\-m+2=-5\end{array}\right.\quad(1)\\\left\{\begin{array}{l}-5<-m-1<1\\-m+2>1\end{array}\right.\quad(2)\\\left\{\begin{array}{l}-5<-m+2<1\\-m-1<-5\end{array}\right.\quad(3)\end{array}\right.$
Ta có $(1)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m=-2\\m=7\end{array}\right.$. Hệ vô nghiệm.
$(2)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}-2<m<4\\m<1\end{array}\right.\Leftrightarrow-2<m<1$.
$(3)\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}1<m<7\\m>4\end{array}\right.\Leftrightarrow4<m<7$.
Vậy có 4 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
