(Liên trường Nghệ An - Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Thái Hòa 2023) Cho hàm số bậc ba $f(x)$ có đồ thị $y=f(x)$ và $y=f'(x)$ như hình vẽ:
Có bao nhiêu số nguyên $m$ thuộc $[2;2024]$ để bất phương trình $f^3(f(x)+m)+1\geq4f(x)+3m$ nghiệm đúng với mọi $x\in[1;+\infty)$?
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $t=f(x)+m\Rightarrow f(x)=t-m\Rightarrow f^3(t)+1\geq4t-m$ hoặc $m=t-f(x)\Rightarrow f^3(t)+1\geq f(x)+3t$.
Ta có $f'(x)=k(x+1)(x-1);f'(0)=-3\Rightarrow k=3$
$\Rightarrow f'(x)=3(x^2-1)\Rightarrow f(x)=x^3-3x+1$, $(f(0)=1)$.
Vậy với $t=f(x)+m\geq f(1)+m=m-1,\forall x\in[1;+\infty)$ đưa về $g(t)=f^3(t)-4t+1\geq-m,\forall t\in[m-1;+\infty)$.
Ta có $g'(t)=3f^2(t)f'(t)-4=3(t^3-3t+1)^2(3t^2-3)-4\Rightarrow t\geq2\Rightarrow g'(t)>0$.
+ Nếu $m=2\Rightarrow$ yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow g(t)=f^3(t)-4t+1\geq-2,\forall t\in[1;+\infty)$, trường hợp này không đúng do $g(1)=f^3(1)-3=-4<-2$.
+ Nếu $m\geq3\Rightarrow t\geq m-1\geq2\Rightarrow g(t)\geq g(2)=f^3(2)-7=20>-3\geq-m$ (thoả mãn).
Vậy $m\in\{3;\ldots;2024\}$.
Chọn đáp án A.
