Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 39

Đặt $t=g(x)+3\Rightarrow t=2x^3+x^2-8x+3\Rightarrow t'=6x^2+2x-8$.
$t'=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=-\frac{4}{3}\\x=1\end{array}\right.$.
Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra mỗi giá trị $t\in\left(-2;\frac{289}{27}\right)$ sẽ có tương ứng 3 giá trị $x$.
$\sqrt{g(g(x)+3)-m}=2g(x)+7\Leftrightarrow \sqrt{g(t)-m}=2(t-3)+7\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}t\geq-\frac{1}{2}\\g(t)-m=(2t+1)^2\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}t\geq-\frac{1}{2}\\m=2t^3+t^2-8t-4t^2-4t-1\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}t\geq-\frac{1}{2}\\m=2t^3-3t^2-12t-1\quad(1)\end{array}\right.$.
Phương trình đã cho có 6 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có 3 nghiệm phân biệt $t\in\left[-\frac{1}{2};\frac{289}{27}\right)$.
Xét hàm số $f(t)=2t^3-3t^2-12t-1$ với $t\in\left[-\frac{1}{2};\frac{289}{27}\right)$.
$f'(t)=6t^2-6t-12\Rightarrow f'(t)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t=-1\\t=2\end{array}\right.$.
Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, phương trình đã cho có 6 nghiệm thực phân biệt khi $m\in(-21;4]$.
Mà $m\in\mathbb{Z}\Rightarrow m\in\{-20;-19;-18;\ldots;4\}$, suy ra có 25 số nguyên thỏa mãn.