(THPT Ngô Quyền - Ba Vì - 2019) Cho hàm số $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có đồ thị như hình vẽ sau đây.
Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$ để phương trình $f(f(x))=m$ có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[-1;2]$?
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $g(x)=f(f(x))$.
$g'(x)=f'(f(x))\cdot f'(x)$.
Cho $g'(x)=0\Leftrightarrow f'(f(x))\cdot f'(x)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f'(x)=0 \\ f'(f(x))=0 \end{array} \right..$
+ $f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1 \\ x=-1 \end{array} \right.$ (hoành độ các điểm cực trị).
+ $f'(f(x))=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x)=1 \\ f(x)=-1 \end{array} \right..$
Dựa vào đồ thị, ta có:
+ Khi $f(x)=1\Leftrightarrow x=0$; $x=a\in(-2;-1)$; $x=b\in(1;2)$.
+ Khi $f(x)=-1\Leftrightarrow x=1$; $x=-2$.
Bảng biến thiên
Phương trình $f(f(x))=m$ có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[-1;2]$
$\Leftrightarrow -1<m<3$.
Mà $m$ là số nguyên nên $m\in\{0;1;2\}$.
Vậy có 3 giá trị của $m$ thỏa đề bài.
