Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 37

Xét hàm số $f(t)=t^3+t+2$, ta có $f'(t)=3t^2+1>0,\forall t\in\mathbb{R}$.
Do đó hàm số $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Ta có $f\left(\sqrt[3]{f^3(x)+f(x)+m}\right)=f(-x)$.
$\Leftrightarrow -x=\sqrt[3]{f^3(x)+f(x)+m}\Leftrightarrow f^3(x)+f(x)+x^3+m=0$ (1).
Xét $h(x)=f^3(x)+f(x)+x^3+m$ trên đoạn $[-1;2]$.
Ta có $h'(x)=3f'(x)\cdot f^2(x)+f'(x)+3x^2=f'(x)[3f^2(x)+1]+3x^2$.
Ta có $f'(x)=3x^2+1>0,\forall x\in[-1;2]\Rightarrow h'(x)>0,\forall x\in[-1;2]$.
Hàm số $h(x)$ đồng biến trên $[-1;2]$ nên $\min\limits_{[-1;2]}h(x)=h(-1)=m-1$, $\max\limits_{[-1;2]}h(x)=h(2)=m+1748$.
Phương trình $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi
$\begin{array}{lll} \min\limits_{[-1;2]}h(x)\cdot\max\limits_{[-1;2]}h(x)\leq0 & \Leftrightarrow & h(-1)\cdot h(2)\leq0 \\ & \Leftrightarrow & (m-1)(1748+m)\leq0 \\ & \Leftrightarrow & -1748\leq m\leq1. \end{array}$
Do $m$ nguyên nên tập các giá trị $m$ thỏa mãn là $S=\{-1748;-1747;\ldots;0;1\}$.
Vậy có tất cả 1750 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.