Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 36

Theo đề bài: $g(x)=f\left(\frac{x^2-1}{x^2}\right)+\frac{2}{x}=f\left(1-\frac{1}{x^2}\right)+\frac{2}{x}$ với $x\neq0$.
Đặt $t=\frac{1}{x}$ ($t\neq0$) thì $g(t)=f(1-t^2)+2t$.
$\Rightarrow g'(t)=-2t\cdot f'(1-t^2)+2$.
$g'(t)=0\Leftrightarrow -2t\cdot f'(1-t^2)+2=0\Leftrightarrow f'(1-t^2)=\frac{1}{t}$ (*).
*Khôi phục hàm $y=f'(1-x^2)$:
Ta có $y=f(x)$ là hàm số bậc ba $\Rightarrow y=f'(x)$ là hàm số bậc hai $\Rightarrow y=f'(1-x^2)$ là hàm số bậc bốn. Mà hàm số $y=f'(1-x^2)$ có đồ thị đối xứng qua trục $Oy$
$\Rightarrow y=f'(1-x^2)$ là hàm số bậc bốn trùng phương có dạng tổng quát
$y=f'(1-x^2)=ax^4+bx^2+c\quad(a,b,c\in\mathbb{R})$.
Dựa vào đồ thị của đề ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} y(1)=1 \\ y(2)=-1 \\ y'(2)=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a+b+c=1 \\ 16a+4b+c=-1 \\ 32a+4b=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=\frac{2}{9} \\ b=-\frac{16}{9} \\ c=\frac{23}{9} \end{array} \right..$
$\Rightarrow y=f'(1-x^2)=\frac{2}{9}x^4-\frac{16}{9}x^2+\frac{23}{9}$.
$(*)\Leftrightarrow g'(t)=-2t\left(\frac{2}{9}t^4-\frac{16}{9}t^2+\frac{23}{9}\right)+2=-\frac{4}{9}t^5+\frac{32}{9}t^3-\frac{46}{9}t+2$.
Dễ thấy $g'(t)=0\Leftrightarrow f'(1-t^2)=\frac{1}{t}$ nhận $t=1$ là nghiệm hay $g'(1)=0$.
Ta có $g''(t)=-\frac{20}{9}t^4+\frac{32}{3}t^2-\frac{46}{9}\Rightarrow g''(1)=\frac{10}{3}\neq0\Rightarrow t=1$ không là nghiệm kép của phương trình $g'(t)=0$ (**).
Vậy dựa vào $(**)$ và tính đối xứng qua $Oy$ ta có đồ thị dưới.

Vậy phương trình $g'(t)=0$ có 5 nghiệm $t\neq0$ suy ra có 5 nghiệm $x\neq0$ tương ứng.