Bài tập nâng cao · Bài 35
Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 35
(Chuyên Trần Phú - Hải Phòng 2023) Cho đồ thị hàm số $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ có hai điểm cực trị là $A(0;3)$ và $B(2;-1)$. Số nghiệm thực của phương trình $4^{f(f(x))}-2^{f(x)+f(f(x))}+3\cdot2^{f(f(x))}=3\cdot2^{f(x)}$ là?
Xem lời giải
Lời giải
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\Rightarrow f'(x)=3ax^2+2bx+c$.
Đồ thị hàm số $f(x)$ có điểm cực trị $A(0;3)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} c=0 \\ d=3 \end{array} \right.$.
Đồ thị hàm số $f(x)$ có điểm cực trị $B(2;-1)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 12a+4b+c=0 \\ 8a+4b+2c+d=-1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=-3 \end{array} \right.$.
$\Rightarrow f(x)=x^3-3x^2+3$.
Xét phương trình: $4^{f(f(x))}-2^{f(x)+f(f(x))}+3\cdot2^{f(f(x))}=3\cdot2^{f(x)}$.
$\Leftrightarrow 2^{2f(f(x))}-2^{f(x)}\cdot2^{f(f(x))}+3\cdot2^{f(f(x))}-3\cdot2^{f(x)}=0$
$\Leftrightarrow 2^{f(f(x))}(2^{f(f(x))}+3)-2^{f(x)}(2^{f(f(x))}+3)=0$
$\Leftrightarrow (2^{f(f(x))}+3)(2^{f(f(x))}-2^{f(x)})=0\Leftrightarrow 2^{f(f(x))}=2^{f(x)}\Leftrightarrow f(f(x))=f(x)$.
$\Leftrightarrow f^3(x)-3f^2(x)+3=f(x)\Leftrightarrow f^3(x)-3f^2(x)-f(x)+3=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x)=3 \\ f(x)=1 \\ f(x)=-1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x^3-3x^2=0 & (2\text{ng}) \\ x^3-3x^2=-2 & (3\text{ng}) \\ x^3-3x^2=-4 & (2\text{ng}) \end{array} \right..$
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm.
Đồ thị hàm số $f(x)$ có điểm cực trị $A(0;3)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} c=0 \\ d=3 \end{array} \right.$.
Đồ thị hàm số $f(x)$ có điểm cực trị $B(2;-1)\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 12a+4b+c=0 \\ 8a+4b+2c+d=-1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=-3 \end{array} \right.$.
$\Rightarrow f(x)=x^3-3x^2+3$.
Xét phương trình: $4^{f(f(x))}-2^{f(x)+f(f(x))}+3\cdot2^{f(f(x))}=3\cdot2^{f(x)}$.
$\Leftrightarrow 2^{2f(f(x))}-2^{f(x)}\cdot2^{f(f(x))}+3\cdot2^{f(f(x))}-3\cdot2^{f(x)}=0$
$\Leftrightarrow 2^{f(f(x))}(2^{f(f(x))}+3)-2^{f(x)}(2^{f(f(x))}+3)=0$
$\Leftrightarrow (2^{f(f(x))}+3)(2^{f(f(x))}-2^{f(x)})=0\Leftrightarrow 2^{f(f(x))}=2^{f(x)}\Leftrightarrow f(f(x))=f(x)$.
$\Leftrightarrow f^3(x)-3f^2(x)+3=f(x)\Leftrightarrow f^3(x)-3f^2(x)-f(x)+3=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f(x)=3 \\ f(x)=1 \\ f(x)=-1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x^3-3x^2=0 & (2\text{ng}) \\ x^3-3x^2=-2 & (3\text{ng}) \\ x^3-3x^2=-4 & (2\text{ng}) \end{array} \right..$
Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm.