Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 43

+) $h'\left( x \right)=f'\left( x \right)g'\left[ f\left( x \right) \right]$.
Xét hàm $g\left( t \right)=-t^{3}+5t^{2}-2020t+2021\Rightarrow g'\left( t \right)=-3t^{2}+10t-2020<0,\quad \forall t\in \mathbb{R}$.
Suy ra $g'\left[ f\left( x \right) \right]<0,\ \forall f\left( x \right)\in \mathbb{R}$.
$h\left( x \right)=g\left[ f\left( x \right) \right]$ đồng biến trên $\left( 2;+\infty \right)\Leftrightarrow h'\left( x \right)\geq 0$ với $\forall x\in \left( 2;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow f'\left( x \right).g'\left[ f\left( x \right) \right]\geq 0,\ \forall x\in \left( 2;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow f'\left( x \right)g'\left[ f\left( x \right) \right]\geq 0,\ \forall x\in \left( 2;+\infty \right)$ (vì $g'\left[ f\left( x \right) \right]<0\ \forall f\left( x \right)\in \mathbb{R}$)
$\Leftrightarrow f'\left( x \right)\leq 0,\ \forall x\in \left( 2;+\infty \right)$ $\Leftrightarrow -4x^{3}-4+m^{2}\leq 0,\ \forall x\in \left( 2;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow m^{2}\leq 4x^{3}+4,\ \forall x\in \left( 2;+\infty \right)\Rightarrow m^{2}\leq \mathop{\min f\left( x \right)}\limits_{\left( 2;+\infty \right)}$.
+) Xét hàm số $k\left( x \right)=4x^{3}+4$, $\forall x\in \left( 2;+\infty \right)$
Bảng biến thiên của hàm số $k\left( x \right)=4x^{3}+4\Rightarrow k'\left( x \right)=12x^{2}\geq 0$ trên $\left( 2;+\infty \right)$.

Từ BBT suy ra $m^{2}\leq 36\Leftrightarrow -6\leq m\leq 6$ thì hàm số đồng biến trên $\left( 2;+\infty \right)$.
Do $m$ nguyên dương nên $m=\left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$ suy ra có $6$ giá trị nguyên của tham số $m$.