Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'\left( x \right)=x^{2}\left( x-2 \right)\left( x^{2}-6x+m \right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên $m$ thuộc đoạn $\left[ -2020;2020 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 1-x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$?

Question

Dạng 7. Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f'\left( x \right)=x^{2}\left( x-2 \right)\left( x^{2}-6x+m \right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên $m$ thuộc đoạn $\left[ -2020;2020 \right]$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 1-x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có: $g'\left( x \right)=-f'\left( 1-x \right)=-\left( 1-x \right)^{2}\left( -x-1 \right)\left[ \left( 1-x \right)^{2}-6\left( 1-x \right)+m \right]$ $=\left( x-1 \right)^{2}\left( x+1 \right)\left( x^{2}+4x+m-5 \right)$ Hàm số $g\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ $\Leftrightarrow g'\left( x \right)\leq 0,\forall x<-1$ $\left( * \right)$, (dấu "$=$" xảy ra tại hữu hạn điểm). Với $x<-1$ thì $\left( x-1 \right)^{2}>0$ và $x+1<0$ nên $\left( * \right)$ $\Leftrightarrow x^{2}+4x+m-5\geq 0,\ \forall x<-1$ $\Leftrightarrow m\geq -x^{2}-4x+5,\ \forall x<-1$. Xét hàm số $y=-x^{2}-4x+5$ trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$, ta có bảng biến thiên: [IMAGE:question_images/12-CD1. TINH DON DIEU 2026/F. BAI TAP NANG CAO - DA/image709.png] Từ bảng biến thiên suy ra $m\geq 9$. Kết hợp với $m$ thuộc đoạn $\left[ -2020;2020 \right]$ và $m$ nguyên nên $m\in \left\{ 9;10;11;\ldots;2020 \right\}$. Vậy có $2012$ số nguyên $m$ thỏa mãn đề bài.

Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 42