Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 41

+ Ta có $g'\left( x \right)=2f'\left( 2x-3 \right)-\frac{2x}{1+x^{2}}-2m$.
Hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( \frac{1}{2};2 \right)$ khi và chỉ khi $g'\left( x \right)\geq 0,\,\,\forall x\in \left( \frac{1}{2};\,2 \right)\Leftrightarrow m\leq f'\left( 2x-3 \right)-\frac{x}{1+x^{2}},\,\,\forall x\in \left( \frac{1}{2};2 \right)$ $\Leftrightarrow m\leq \min\limits_{x\in \left( \frac{1}{2};2 \right)} \left[ f'\left( 2x-3 \right)-\frac{x}{1+x^{2}} \right]$ $\left( 1 \right)$
+ Đặt $t=2x-3$, khi đó $x\in \left( \frac{1}{2};2 \right)\Leftrightarrow t\in \left( -2;\,1 \right)$.
Từ đồ thị hàm $f'\left( x \right)$ suy ra $f'\left( t \right)\geq 0,\,\,\forall t\in \left( -2;1 \right)$ và $f'\left( t \right)=0$ khi $t=-1$.
Tức là $f'\left( 2x-3 \right)\geq 0,\,\,\forall x\in \left( \frac{1}{2};\,2 \right)$ $\Rightarrow \min\limits_{x\in \left( \frac{1}{2};2 \right)} f'\left( 2x-3 \right)=0$ khi $x=1$. $\left( 2 \right)$
+ Xét hàm số $h\left( x \right)=-\frac{x}{1+x^{2}}$ trên khoảng $\left( \frac{1}{2};\,2 \right)$. Ta có $h'\left( x \right)=\frac{x^{2}-1}{\left( 1+x^{2} \right)^{2}}$ và
$h'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x^{2}-1=0\Leftrightarrow x=\pm 1$.
Bảng biến thiên của hàm số $h\left( x \right)$ trên $\left( \frac{1}{2};\,2 \right)$ như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra $h\left( x \right)\geq -\frac{1}{2}$ $\Rightarrow \min\limits_{x\in \left( \frac{1}{2};2 \right)} h\left( x \right)=-\frac{1}{2}$ khi $x=1$. $\left( 3 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ suy ra $m\leq -\frac{1}{2}$.
Kết hợp với $m\in \mathbb{Z}$, $m\in \left( -2020;\,2020 \right)$ thì $m\in \left\{ -2019;\,-2018;\ldots;-2;-1 \right\}$.
Vậy có tất cả $2019$ giá trị $m$ cần tìm.