Dạng 7. Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 40
(Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y=f'\left( x \right)$ như hình vẽ. Đặt $g\left( x \right)=f\left( x-m \right)-\frac{1}{2}\left( x-m-1 \right)^{2}+2019$, với $m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số $y=g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 5;6 \right)$. Tính tổng tất cả các phần tử trong $S$?
Xem lời giải
Lời giải
Xét hàm số $g\left( x \right)=f\left( x-m \right)-\frac{1}{2}\left( x-m-1 \right)^{2}+2019$
$g'\left( x \right)=f'\left( x-m \right)-\left( x-m-1 \right)$
Xét phương trình $g'\left( x \right)=0\quad \left( 1 \right)$
Đặt $x-m=t$, phương trình $\left( 1 \right)$ trở thành $f'\left( t \right)-\left( t-1 \right)=0\Leftrightarrow f'\left( t \right)=t-1\quad \left( 2 \right)$
Nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$ là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y=f'\left( t \right)$ và $y=t-1$
Ta có đồ thị các hàm số $y=f'\left( t \right)$ và $y=t-1$ như sau:
Căn cứ đồ thị các hàm số ta có phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm là: $\left[ \begin{array}{l} t=-1 \\ t=1 \\ t=3 \end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=m-1 \\ x=m+1 \\ x=m+3 \end{array} \right.$
Ta có bảng biến thiên của $y=g\left( x \right)$
Để hàm số $y=g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 5;6 \right)$ cần $\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} m-1\leq 5 \\ m+1\geq 6 \end{array} \right. \\ m+3\leq 5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5\leq m\leq 6 \\ m\leq 2 \end{array} \right.$
Vì $m\in \mathbb{N}^{*}\Rightarrow m$ nhận các giá trị $1;\,2;\,5;\,6\Rightarrow S=14$.
