Bài tập nâng cao · Bài 44
Dạng 7. Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 44
(Chuyên Bắc Ninh 2022) Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)=x\left( x-1 \right)^{2}\left( x^{2}+mx+9 \right)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để hàm số $g\left( x \right)=f\left( 3-x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 3;+\infty \right)$?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $g'\left( x \right)=-f'\left( 3-x \right)=\left( x-3 \right)\left( x-2 \right)^{2}\left( \left( 3-x \right)^{2}+m\left( 3-x \right)+9 \right)$.
$g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 3;+\infty \right)\Leftrightarrow g'\left( x \right)\geq 0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \left( 3-x \right)^{2}+m\left( 3-x \right)+9\geq 0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow t^{2}+mt+9\geq 0,\forall t\in \left( -\infty ;0 \right)$ (với $t=3-x$; $x\in \left( 3;+\infty \right)$ ta có $t\in \left( -\infty ;0 \right)$).
$\Leftrightarrow m\leq -t-\frac{9}{t},\forall t\in \left( -\infty ;0 \right)$.
Ta có trên $\left( -\infty ;0 \right)$ ta có $-t$ và $-\frac{9}{t}$ đều là các số dương nên có $-t-\frac{9}{t}\geq 6$.
Vậy $m\leq -t-\frac{9}{t},\forall t\in \left( -\infty ;0 \right)\Leftrightarrow m\leq 6$.
$g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 3;+\infty \right)\Leftrightarrow g'\left( x \right)\geq 0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \left( 3-x \right)^{2}+m\left( 3-x \right)+9\geq 0,\forall x\in \left( 3;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow t^{2}+mt+9\geq 0,\forall t\in \left( -\infty ;0 \right)$ (với $t=3-x$; $x\in \left( 3;+\infty \right)$ ta có $t\in \left( -\infty ;0 \right)$).
$\Leftrightarrow m\leq -t-\frac{9}{t},\forall t\in \left( -\infty ;0 \right)$.
Ta có trên $\left( -\infty ;0 \right)$ ta có $-t$ và $-\frac{9}{t}$ đều là các số dương nên có $-t-\frac{9}{t}\geq 6$.
Vậy $m\leq -t-\frac{9}{t},\forall t\in \left( -\infty ;0 \right)\Leftrightarrow m\leq 6$.