Bài tập nâng cao · Bài 45
Dạng 7. Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 45
(Chuyên Bắc Ninh 2022) Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Tìm tổng tất cả các giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=f\left( \frac{m}{3}x^{3}+\left( m-4 \right)x^{2}+9x+2021 \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
$y'=(mx^{2}-2(m-4)x+9).f'(\frac{m}{3}x^{3}+(m-4)x^{2}+9x+2021)$
Để hàm số: $y=f\left( \frac{m}{3}x^{3}+\left( m-4 \right)x^{2}+9x+2021 \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì $y'\leq 0\ \forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow y'=(mx^{2}-2(m-4)x+9).f'(\frac{m}{3}x^{3}+(m-4)x^{2}+9x+2021)\leq 0\ \forall x\in \mathbb{R}$
Lại có: $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ suy ra $f'(x)\leq 0\ \forall x\in \mathbb{R}$
Nên để hàm số: $y=f\left( \frac{m}{3}x^{3}+\left( m-4 \right)x^{2}+9x+2021 \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì:
$mx^{2}-2(m-4)x+9\geq 0\ \forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>0 \\ (m-4)^{2}-9m\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>0 \\ m^{2}-17m+16\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>0 \\ m^{2}-17m+16\leq 0 \end{array} \right.$
Vậy $m\in \left\{ 1,2,3,\ldots,15,16 \right\}$
Tổng các giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài là: $1+2+3+\ldots+15+16=136$
$y'=(mx^{2}-2(m-4)x+9).f'(\frac{m}{3}x^{3}+(m-4)x^{2}+9x+2021)$
Để hàm số: $y=f\left( \frac{m}{3}x^{3}+\left( m-4 \right)x^{2}+9x+2021 \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì $y'\leq 0\ \forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow y'=(mx^{2}-2(m-4)x+9).f'(\frac{m}{3}x^{3}+(m-4)x^{2}+9x+2021)\leq 0\ \forall x\in \mathbb{R}$
Lại có: $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ suy ra $f'(x)\leq 0\ \forall x\in \mathbb{R}$
Nên để hàm số: $y=f\left( \frac{m}{3}x^{3}+\left( m-4 \right)x^{2}+9x+2021 \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì:
$mx^{2}-2(m-4)x+9\geq 0\ \forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>0 \\ (m-4)^{2}-9m\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>0 \\ m^{2}-17m+16\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>0 \\ m^{2}-17m+16\leq 0 \end{array} \right.$
Vậy $m\in \left\{ 1,2,3,\ldots,15,16 \right\}$
Tổng các giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài là: $1+2+3+\ldots+15+16=136$