Bài tập nâng cao · Bài 47
Dạng 7. Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 47
Cho hàm số $f(x)$ có $f'(x)=x^{3}+ax^{2}+bx-3,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết hàm số $g(x)=f(x)-3(x-1)^{2}$ đồng biến trên khoảng $(0;+\infty)$ và hàm số $h(x)=f(x)-\frac{1}{2}x^{4}+2x$ nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty)$. Tính giá trị của $f'(3)$
Xem lời giải
Lời giải
Theo giả thiết ta có $\left\{ \begin{array}{l} g'(x)\geq 0,\forall x>0 \\ h'(x)\leq 0,\forall x>0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'(x)-6(x-1)\geq 0,\forall x>0 \\ f'(x)-2x^{3}+2\leq 0,\forall x>0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^{3}+ax^{2}+bx-3-6x+6\geq 0,\forall x>0 \\ x^{3}+ax^{2}+bx-3-2x^{3}+2\leq 0,\forall x>0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} ax^{2}+bx\geq -x^{3}+6x-3,\forall x>0\,\,\,(1) \\ ax^{2}+bx\leq x^{3}+1,\forall x>0\ \,(2) \end{array} \right.(*).$
Thay $x=1$ vào (*) ta được: $x=1\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a+b\geq 2 \\ a+b\leq 2 \end{array} \right.\Rightarrow a+b=2\Leftrightarrow b=2-a$.
Thay ngược lại (2) ta được:
$x^{3}+1-ax^{2}-(2-a)x\geq 0,\forall x>0\Leftrightarrow \left( x^{3}-2x+1 \right)-a\left( x^{2}-x \right)\geq 0,\forall x>0$
$\Leftrightarrow (x-1)\left( x^{2}+x-1 \right)-ax(x-1)\geq 0,\forall x>0\Leftrightarrow (x-1)\left( x^{2}+x-1-ax \right)\geq 0,\forall x>0(**).$
để (**) đúng điều kiện cần là phương trình $x^{2}+x-1-ax=0$ phải có nghiệm $x=1\Rightarrow 1+1-1-a=0\Leftrightarrow a=1\Rightarrow b=1$. Điều kiện đủ ta bỏ qua nhé vì tìm được duy nhất $a,b$.
Khi đó $f'(x)=x^{3}+x^{2}+x-3\Rightarrow f'(3)=36$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^{3}+ax^{2}+bx-3-6x+6\geq 0,\forall x>0 \\ x^{3}+ax^{2}+bx-3-2x^{3}+2\leq 0,\forall x>0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} ax^{2}+bx\geq -x^{3}+6x-3,\forall x>0\,\,\,(1) \\ ax^{2}+bx\leq x^{3}+1,\forall x>0\ \,(2) \end{array} \right.(*).$
Thay $x=1$ vào (*) ta được: $x=1\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a+b\geq 2 \\ a+b\leq 2 \end{array} \right.\Rightarrow a+b=2\Leftrightarrow b=2-a$.
Thay ngược lại (2) ta được:
$x^{3}+1-ax^{2}-(2-a)x\geq 0,\forall x>0\Leftrightarrow \left( x^{3}-2x+1 \right)-a\left( x^{2}-x \right)\geq 0,\forall x>0$
$\Leftrightarrow (x-1)\left( x^{2}+x-1 \right)-ax(x-1)\geq 0,\forall x>0\Leftrightarrow (x-1)\left( x^{2}+x-1-ax \right)\geq 0,\forall x>0(**).$
để (**) đúng điều kiện cần là phương trình $x^{2}+x-1-ax=0$ phải có nghiệm $x=1\Rightarrow 1+1-1-a=0\Leftrightarrow a=1\Rightarrow b=1$. Điều kiện đủ ta bỏ qua nhé vì tìm được duy nhất $a,b$.
Khi đó $f'(x)=x^{3}+x^{2}+x-3\Rightarrow f'(3)=36$.