Bài tự luận · Bài 12
Dạng 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a,b$. - Xác định mặt phẳng $(P)$ chứa $b$ và song song với $a$, khi đó $d(a,b)=d(a,(P))$. - Khi $a\perp b$, ta có thể làm như sau: Xác định mặt phẳng $(P)$ đi qua $b$ và vuông góc với $a$, giao điểm của $a$ và $(P)$ là $H$, hình chiếu của $H$ trên b là $K$. Khi đó, $HK$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ và $d(a,b)=HK$. [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/B. TU LUAN/image279.png]
Bài tự luận Khoảng cách · Bài 12
(CD11) Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp(ABC),AB\perp BC,SA=AB=3a,BC=4a$. Tính khoảng cách:
a) Từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$;
b) Giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$;
c) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$;
d) Từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$;
e) Giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.
a) Từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$;
b) Giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$;
c) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$;
d) Từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$;
e) Giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $d(C,(SAB))=BC=4a$.
b) $d(SA,BC)=AB=3a$.
c) Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$. Khi đó, $AH\perp(SBC)$. Suy ra $d(A,(SBC))=AH=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$.
d) Gọi $I$ là hình chiếu của $B$ trên $AC$. Khi đó, $BI\perp(SAC)$. Suy ra
$d(B,(SAC))=BI=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{3a\cdot 4a}{5a}=2,4a.$
e) Lấy điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành, gọi $K$ là hình chiếu của $A$ trên $SD$. Ta có $ABCD$ là hình chữ nhật do $AB\perp BC$. Suy ra $CD\perp(SAD)$ nên $CD\perp AK$. Do đó, $AK\perp(SDC)$.
Vì $AB\parallel(SCD)$ nên $d(AB,SC)=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))=AK$.
Xét tam giác $SAD$ vuông tại $A$ có: $AK=\frac{SA\cdot AD}{SD}=\frac{3a\cdot 4a}{\sqrt{(3a)^{2}+(4a)^{2}}}=2,4a$.
Vậy $d(AB,SC)=2,4a$.