Bài tự luận · Bài 19
Dạng 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số
Bài tự luận Giới hạn của hàm số · Bài 19
(CTST11) Tìm các giới hạn sau:
a) $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^{2}-x+3}{2x^{2}+4}$
b) $\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{4x^{2}+x}}{x+1}$;
c) $\lim\limits_{x\to +\infty}\left( \sqrt{x^{2}+6x}-x \right)$
a) $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^{2}-x+3}{2x^{2}+4}$
b) $\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{4x^{2}+x}}{x+1}$;
c) $\lim\limits_{x\to +\infty}\left( \sqrt{x^{2}+6x}-x \right)$
Xem lời giải
Lời giải
a) $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^{2}-x+3}{2x^{2}+4}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^{2}}}{2+\frac{4}{x^{2}}}=\frac{\lim\limits_{x\to +\infty}\left( 1-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^{2}} \right)}{\lim\limits_{x\to +\infty}\left( 2+\frac{4}{x^{2}} \right)}=\frac{\lim\limits_{x\to +\infty}1-\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{1}{x}+\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{3}{x^{2}}}{\lim\limits_{x\to +\infty}2+\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{4}{x^{2}}}=\frac{1-0+0}{2+0}=\frac{1}{2}$.
b) Do xét giới hạn khi $x\to -\infty$ nên ta chỉ cần xét $x<0$. Khi đó, $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|=-x$ nên ta có
$\frac{\sqrt{4x^{2}+x}}{x+1}=\frac{\sqrt{x^{2}\left( 4+\frac{1}{x} \right)}}{x+1}=\frac{\left| x \right|\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{x+1}=\frac{-x\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{x\left( 1+\frac{1}{x} \right)}=\frac{-\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}}$.
Do đó, $\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{4x^{2}+x}}{x+1}=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{-\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{-\sqrt{4+\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{2}}}}{1+\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x}}=\frac{-\sqrt{4+0}}{1+0}=-2$.
c)
$\begin{array}{ll} \lim\limits_{x\to +\infty}\left( \sqrt{x^{2}+6x}-x \right) & =\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\left( \sqrt{x^{2}+6x}-x \right)\left( \sqrt{x^{2}+6x}+x \right)}{\sqrt{x^{2}+6x}+x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^{2}+6x-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+6x}+x} \\ & =\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{6x}{\sqrt{x^{2}+6x}+x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1}=\frac{6}{1+1}=3. \\ \end{array}$
b) Do xét giới hạn khi $x\to -\infty$ nên ta chỉ cần xét $x<0$. Khi đó, $\sqrt{x^{2}}=\left| x \right|=-x$ nên ta có
$\frac{\sqrt{4x^{2}+x}}{x+1}=\frac{\sqrt{x^{2}\left( 4+\frac{1}{x} \right)}}{x+1}=\frac{\left| x \right|\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{x+1}=\frac{-x\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{x\left( 1+\frac{1}{x} \right)}=\frac{-\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}}$.
Do đó, $\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{4x^{2}+x}}{x+1}=\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{-\sqrt{4+\frac{1}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{-\sqrt{4+\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{2}}}}{1+\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x}}=\frac{-\sqrt{4+0}}{1+0}=-2$.
c)
$\begin{array}{ll} \lim\limits_{x\to +\infty}\left( \sqrt{x^{2}+6x}-x \right) & =\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\left( \sqrt{x^{2}+6x}-x \right)\left( \sqrt{x^{2}+6x}+x \right)}{\sqrt{x^{2}+6x}+x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^{2}+6x-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+6x}+x} \\ & =\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{6x}{\sqrt{x^{2}+6x}+x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{x}}+1}=\frac{6}{1+1}=3. \\ \end{array}$