Bài tự luận · Bài 20
Dạng 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số
Bài tự luận Giới hạn của hàm số · Bài 20
(CTST11) Tìm các giới hạn sau:
a) $\lim\limits_{x\to -2}\frac{x^{2}-4}{x+2}$;
b) $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{1-x}$;
c) $\lim\limits_{x\to 3}\frac{x^{2}-4x+3}{x-3}$;
d) $\lim\limits_{x\to -2}\frac{2-\sqrt{x+6}}{x+2}$;
e) $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}$;
g) $\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^{2}-4x+4}{x^{2}-4}$.
a) $\lim\limits_{x\to -2}\frac{x^{2}-4}{x+2}$;
b) $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{1-x}$;
c) $\lim\limits_{x\to 3}\frac{x^{2}-4x+3}{x-3}$;
d) $\lim\limits_{x\to -2}\frac{2-\sqrt{x+6}}{x+2}$;
e) $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}$;
g) $\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^{2}-4x+4}{x^{2}-4}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $\lim\limits_{x\to -2}\frac{x^{2}-4}{x+2}=\lim\limits_{x\to -2}\frac{(x+2)(x-2)}{x+2}=\lim\limits_{x\to -2}(x-2)=-2-2=-4$;
b) $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{1-x}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)\left( x^{2}+x+1 \right)}{-(x-1)}=\lim\limits_{x\to 1}\left[ -\left( x^{2}+x+1 \right) \right]=-3$;
c) $\lim\limits_{x\to 3}\frac{x^{2}-4x+3}{x-3}=\lim\limits_{x\to 3}\frac{(x-1)(x-3)}{x-3}=\lim\limits_{x\to 3}(x-1)=3-1=2$;
d)
$\lim\limits_{x\to -2}\frac{2-\sqrt{x+6}}{x+2}=\lim\limits_{x\to -2}\frac{(2-\sqrt{x+6})(2+\sqrt{x+6})}{(x+2)(2+\sqrt{x+6})}=\lim\limits_{x\to -2}\frac{4-(x+6)}{(x+2)(2+\sqrt{x+6})}$
$=\lim\limits_{x\to -2}\frac{-(x+2)}{(x+2)(2+\sqrt{x+6})}=\lim\limits_{x\to -2}\frac{-1}{2+\sqrt{x+6}}=\frac{-1}{2+\sqrt{-2+6}}=-\frac{1}{4}$
e) $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{(x+1)-1}$
$=\lim\limits_{x\to 0}(\sqrt{x+1}+1)=2$
g) $\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^{2}-4x+4}{x^{2}-4}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x-2)^{2}}{(x+2)(x-2)}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{x-2}{x+2}=\frac{0}{4}=0$.
b) $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{1-x}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{(x-1)\left( x^{2}+x+1 \right)}{-(x-1)}=\lim\limits_{x\to 1}\left[ -\left( x^{2}+x+1 \right) \right]=-3$;
c) $\lim\limits_{x\to 3}\frac{x^{2}-4x+3}{x-3}=\lim\limits_{x\to 3}\frac{(x-1)(x-3)}{x-3}=\lim\limits_{x\to 3}(x-1)=3-1=2$;
d)
$\lim\limits_{x\to -2}\frac{2-\sqrt{x+6}}{x+2}=\lim\limits_{x\to -2}\frac{(2-\sqrt{x+6})(2+\sqrt{x+6})}{(x+2)(2+\sqrt{x+6})}=\lim\limits_{x\to -2}\frac{4-(x+6)}{(x+2)(2+\sqrt{x+6})}$
$=\lim\limits_{x\to -2}\frac{-(x+2)}{(x+2)(2+\sqrt{x+6})}=\lim\limits_{x\to -2}\frac{-1}{2+\sqrt{x+6}}=\frac{-1}{2+\sqrt{-2+6}}=-\frac{1}{4}$
e) $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{(x+1)-1}$
$=\lim\limits_{x\to 0}(\sqrt{x+1}+1)=2$
g) $\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^{2}-4x+4}{x^{2}-4}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x-2)^{2}}{(x+2)(x-2)}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{x-2}{x+2}=\frac{0}{4}=0$.