Bài tự luận · Bài 18
Dạng 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số
Bài tự luận Giới hạn của hàm số · Bài 18
(CTST11) Cho hàm số $f(x)=\frac{x^{2}-1}{\left| x-1 \right|}$ với $x\neq 1$. Tìm các giới hạn $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x),\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)$ và $\lim\limits_{x\to 1}f(x)$ (nếu có).
Xem lời giải
Lời giải
Với $x>1$ thì $f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$;
Với $x<1$ thì $f(x)=\frac{x^{2}-1}{1-x}=\frac{(x+1)(x-1)}{-(x-1)}=-(x+1)$.
Từ đó, $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}(x+1)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}x+1=1+1=2$;
$\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}[-(x+1)]=-\left( \lim\limits_{x\to 1^{-}}x+1 \right)=-(1+1)=-2$.
Do $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)\neq \lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)$ nên không tồn tại $\lim\limits_{x\to 1}f(x)$.
Với $x<1$ thì $f(x)=\frac{x^{2}-1}{1-x}=\frac{(x+1)(x-1)}{-(x-1)}=-(x+1)$.
Từ đó, $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}(x+1)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}x+1=1+1=2$;
$\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}[-(x+1)]=-\left( \lim\limits_{x\to 1^{-}}x+1 \right)=-(1+1)=-2$.
Do $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)\neq \lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)$ nên không tồn tại $\lim\limits_{x\to 1}f(x)$.