Bài tự luận · Bài 17
Dạng 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số
Bài tự luận Giới hạn của hàm số · Bài 17
(CTST11) Tìm các giới hạn sau:
a) $\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^{2}-4x-5}{x+1}$
b) $\lim\limits_{x\to 2}\frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2}$.
a) $\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^{2}-4x-5}{x+1}$
b) $\lim\limits_{x\to 2}\frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^{2}-4x-5}{x+1}=\lim\limits_{x\to -1}\frac{(x+1)(x-5)}{x+1}=\lim\limits_{x\to -1}(x-5)=\lim\limits_{x\to -1}x-5=-1-5=-6$.
b) $\lim\limits_{x\to 2}\frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{(\sqrt{x-1}-1)(\sqrt{x-1}+1)}{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x-1)-1}{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)}$
$=\lim\limits_{x\to 2}\frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}=\frac{1}{\lim\limits_{x\to 2}(\sqrt{x-1}+1)}$
$=\frac{1}{\lim\limits_{x\to 2}\sqrt{x-1}+1}=\frac{1}{\sqrt{\lim\limits_{x\to 2}x-1}+1}=\frac{1}{\sqrt{2-1}+1}=\frac{1}{2}$.
Chú ý:
- Ta có $\lim\limits_{x\to -1}(x+1)=0$ và $\lim\limits_{x\to -1}\left( x^{2}-4x-5 \right)=0$ nên ta nói giới hạn $\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^{2}-4x-5}{x+1}$ có dạng $\frac{0}{0}$. Để tính giới hạn này, ta không thể áp dụng phép toán giới hạn của một thương bằng thương của hai giới hạn mà phải biến đổi \"khử nhân tử dần tới 0\" (ở đây là nhân tử $x+1$) của hàm số dưới dấu giới hạn.
- Giới hạn $\lim\limits_{x\to 2}\frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2}$ cũng có dạng $\frac{0}{0}$. Để làm xuất hiện nhân tử dần tới 0 ở tử, ta nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{x-1}+1$, gọi là biểu thức liên hợp của tử $\sqrt{x-1}-1$
b) $\lim\limits_{x\to 2}\frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{(\sqrt{x-1}-1)(\sqrt{x-1}+1)}{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{(x-1)-1}{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)}$
$=\lim\limits_{x\to 2}\frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x-1}+1)}=\lim\limits_{x\to 2}\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}=\frac{1}{\lim\limits_{x\to 2}(\sqrt{x-1}+1)}$
$=\frac{1}{\lim\limits_{x\to 2}\sqrt{x-1}+1}=\frac{1}{\sqrt{\lim\limits_{x\to 2}x-1}+1}=\frac{1}{\sqrt{2-1}+1}=\frac{1}{2}$.
Chú ý:
- Ta có $\lim\limits_{x\to -1}(x+1)=0$ và $\lim\limits_{x\to -1}\left( x^{2}-4x-5 \right)=0$ nên ta nói giới hạn $\lim\limits_{x\to -1}\frac{x^{2}-4x-5}{x+1}$ có dạng $\frac{0}{0}$. Để tính giới hạn này, ta không thể áp dụng phép toán giới hạn của một thương bằng thương của hai giới hạn mà phải biến đổi \"khử nhân tử dần tới 0\" (ở đây là nhân tử $x+1$) của hàm số dưới dấu giới hạn.
- Giới hạn $\lim\limits_{x\to 2}\frac{\sqrt{x-1}-1}{x-2}$ cũng có dạng $\frac{0}{0}$. Để làm xuất hiện nhân tử dần tới 0 ở tử, ta nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{x-1}+1$, gọi là biểu thức liên hợp của tử $\sqrt{x-1}-1$