Bài tập nâng cao · Bài 10
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 10
Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ sao cho đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ và $AB\leq4$?
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
$\frac{2x-1}{x+1}=x+m\Leftrightarrow 2x-1=(x+m)(x+1)\Leftrightarrow x^2+(m-1)x+m+1=0$ $(1)$
(vì $x=-1$ không là nghiệm của phương trình)
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ $\Leftrightarrow$ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và khác $(-1)$ $\Leftrightarrow \Delta=(m-1)^2-4(m+1)>0\Leftrightarrow m^2-6m-3>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m>3+2\sqrt{3} \\ m<3-2\sqrt{3} \end{array} \right.$ (*)
Gọi $A(x_1;x_1+m)$, $B(x_2;x_2+m)$. Theo định lý Vi-et: $\left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2=1-m \\ x_1x_2=m+1 \end{array} \right.$.
$AB\leq4\Leftrightarrow \sqrt{2(x_1-x_2)^2}\leq4\Leftrightarrow 2(x_1-x_2)^2\leq16\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2\leq8\Leftrightarrow (1-m)^2-4(m+1)\leq8\Leftrightarrow m^2-6m-11\leq0\Leftrightarrow 3-2\sqrt{5}\leq m\leq3+2\sqrt{5}$, kết hợp điều kiện (*) và $m$ nguyên dương nên có 1 giá trị $m$ thỏa mãn.
$\frac{2x-1}{x+1}=x+m\Leftrightarrow 2x-1=(x+m)(x+1)\Leftrightarrow x^2+(m-1)x+m+1=0$ $(1)$
(vì $x=-1$ không là nghiệm của phương trình)
Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ $\Leftrightarrow$ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và khác $(-1)$ $\Leftrightarrow \Delta=(m-1)^2-4(m+1)>0\Leftrightarrow m^2-6m-3>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m>3+2\sqrt{3} \\ m<3-2\sqrt{3} \end{array} \right.$ (*)
Gọi $A(x_1;x_1+m)$, $B(x_2;x_2+m)$. Theo định lý Vi-et: $\left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2=1-m \\ x_1x_2=m+1 \end{array} \right.$.
$AB\leq4\Leftrightarrow \sqrt{2(x_1-x_2)^2}\leq4\Leftrightarrow 2(x_1-x_2)^2\leq16\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2\leq8\Leftrightarrow (1-m)^2-4(m+1)\leq8\Leftrightarrow m^2-6m-11\leq0\Leftrightarrow 3-2\sqrt{5}\leq m\leq3+2\sqrt{5}$, kết hợp điều kiện (*) và $m$ nguyên dương nên có 1 giá trị $m$ thỏa mãn.