Chứng minh rằng:
a) Hàm số $ y=\sqrt { x^2 -4 } $ nghịch biến trên khoảng $ (-\infty ;-2) $ và đồng biến trên khoảng $ (2;+\infty ) $.
b) Hàm số $ y=\ln\left(x^2 +1\right) $ nghịch biến trên khoảng $ (-\infty ;0) $ và đồng biến trên khoảng $ (0;+\infty ) $.
c) Hàm số $ y=2 ^ { -x^2 +2x } $ đồng biến trên khoảng $ (-\infty ;1) $ và nghịch biến trên khoảng $ (1;+\infty ) $.

Question

Vấn đề 2. Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Chứng minh rằng: a) Hàm số $ y=\sqrt { x^2 -4 } $ nghịch biến trên khoảng $ (-\infty ;-2) $ và đồng biến trên khoảng $ (2;+\infty ) $. b) Hàm số $ y=\ln\left(x^2 +1\right) $ nghịch biến trên khoảng $ (-\infty ;0) $ và đồng biến trên khoảng $ (0;+\infty ) $. c) Hàm số $ y=2 ^ { -x^2 +2x } $ đồng biến trên khoảng $ (-\infty ;1) $ và nghịch biến trên khoảng $ (1;+\infty ) $.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Hàm số $ y=\sqrt { x^2 -4 } $ có tập xác định là $ (-\infty ;-2]\cup[2;+\infty ) $ và $ y' =\frac { x } { \sqrt { x^2 -4 } } $ Với $ x\in (-\infty ;-2) $ thì $ y' < 0 $ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $ (-\infty ;-2) $. Với $ x\in (2;+\infty ) $ thì $ y' >0 $ nên hàm số đồng biến trên khoảng $ (2;+\infty ) $. b) Hàm số $ y=\ln\left(x^2 +1ight) $ có tập xác định là $ \mathbb{R} $ và ta có $ y' =\frac { 2x } { x^2 +1 };y' =0 $ khi $ x=0 $. Bảng xét dấu của $ y' $: [IMAGE:question_images/12-CD1. TINH DON DIEU 2026/B. TU LUAN - DA/image87.png] Vậy hàm số $ y=\ln\left(x^2 +1ight) $ nghịch biến trên khoảng $ (-\infty ;0) $ và đồng biến trên khoảng $ (0;+\infty ) $. c) Hàm số $ y=2 ^ { -x^2 +2x } $ có tập xác định là $ \mathbb{R} $ và ta có $ y' =(-2x+2)\cdot 2 ^ { -x^2 +2x } \cdot \ln 2;y' =0	ext{ khi }x=1. $ Bảng xét dấu của $ y' $: [IMAGE:question_images/12-CD1. TINH DON DIEU 2026/B. TU LUAN - DA/image95.png] Vậy hàm số $ y=2 ^ { -x^2 +2x } $ đồng biến trên khoảng $ (-\infty ;1) $ và nghịch biến trên khoảng $ (1;+\infty ) $.

Bài tự luận Tính đơn điệu của hàm số · Bài 6