Bài tự luận · Bài 7
Vấn đề 2. Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bài tự luận Tính đơn điệu của hàm số · Bài 7
Dùng đạo hàm của hàm số, hãy giải thích:
a) Hàm số $ y=a^x $ đồng biến trên $ \mathbb{R} $ khi $ a>1 $, nghịch biến trên $ \mathbb{R} $ khi $ 0 < a < 1 $.
b) Hàm số $ y=\log_a x $ đồng biến trên khoảng $ (0;+\infty ) $ khi $ a>1 $, nghịch biến trên khoảng $ (0;+\infty ) $ khi $ 0 < a < 1 $.
a) Hàm số $ y=a^x $ đồng biến trên $ \mathbb{R} $ khi $ a>1 $, nghịch biến trên $ \mathbb{R} $ khi $ 0 < a < 1 $.
b) Hàm số $ y=\log_a x $ đồng biến trên khoảng $ (0;+\infty ) $ khi $ a>1 $, nghịch biến trên khoảng $ (0;+\infty ) $ khi $ 0 < a < 1 $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Hàm số $ y=a^x $ có tập xác định là $ \mathbb{R} $ và có $ y'=a^x\ln a $.
- Nếu $ a>1 $ thì ln $ a>0 $ nên $ y' >0 $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $. Vậy hàm số $ y=a^x $ đồng biến trên $ \mathbb{R} $ khi $ a>1 $.
- Nếu $ 0 < a < 1 $ thì $ \ln a < 0 $ nên $ y' < 0 $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $. Vậy hàm số $ y=a^x $ nghịch biến trên $ \mathbb{R} $ khi $ 0 < a < 1 $.
b) Hàm số $ y=\log_a x $ có tập xác định là khoảng $ (0;+\infty ) $ và có $ y' =\frac { 1 } { x\cdot \ln a } $. Giải thích tương tự câu#a.
- Nếu $ a>1 $ thì ln $ a>0 $ nên $ y' >0 $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $. Vậy hàm số $ y=a^x $ đồng biến trên $ \mathbb{R} $ khi $ a>1 $.
- Nếu $ 0 < a < 1 $ thì $ \ln a < 0 $ nên $ y' < 0 $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $. Vậy hàm số $ y=a^x $ nghịch biến trên $ \mathbb{R} $ khi $ 0 < a < 1 $.
b) Hàm số $ y=\log_a x $ có tập xác định là khoảng $ (0;+\infty ) $ và có $ y' =\frac { 1 } { x\cdot \ln a } $. Giải thích tương tự câu#a.