Bài tự luận · Bài 8
Vấn đề 2. Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bài tự luận Tính đơn điệu của hàm số · Bài 8
Chứng minh rằng:
a) $ \tan x\geq x $ với mọi $ x\in \left(0;\frac { \pi } { 2 }\right) $;
b) $ \ln x\leq x-1 $ với mọi $ x>0 $.
a) $ \tan x\geq x $ với mọi $ x\in \left(0;\frac { \pi } { 2 }\right) $;
b) $ \ln x\leq x-1 $ với mọi $ x>0 $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Đặt $ f(x)=\tan x-x $ với mọi $ x\in \left(0;\frac { \pi } { 2 }\right) $.
Ta có $ f' (x)=\frac { 1 } { \cos^2 x }-1>0 $ với mọi $ x\in \left(0;\frac { \pi } { 2 }\right) $.
Do đó $ f(x) $ đồng biến trên khoảng $ \left(0;\frac { \pi } { 2 }\right) $, nên $ f(x)\geq f(0)=0 $ hay $ \tan x\geq x $ với mọi $ x\in \left(0;\frac { \pi } { 2 }\right) $.
b) Đặt $ f(x)=\ln x-x+1 $ với mọi $ x>0 $.
Ta có $ f' (x)=\frac { 1 } { x }-1 $; $ f' (x)=0\Leftrightarrow x=1 $.
Hàm số đồng biến trên khoảng $ (0;1) $ và nghịch biến trên khoảng $ (1;+\infty ) $.
Do đó $ f(x)\leq f(1)=0 $ với mọi $ x>0 $ hay $ \ln x\leq x-1 $ với mọi $ x>0 $.
Ta có $ f' (x)=\frac { 1 } { \cos^2 x }-1>0 $ với mọi $ x\in \left(0;\frac { \pi } { 2 }\right) $.
Do đó $ f(x) $ đồng biến trên khoảng $ \left(0;\frac { \pi } { 2 }\right) $, nên $ f(x)\geq f(0)=0 $ hay $ \tan x\geq x $ với mọi $ x\in \left(0;\frac { \pi } { 2 }\right) $.
b) Đặt $ f(x)=\ln x-x+1 $ với mọi $ x>0 $.
Ta có $ f' (x)=\frac { 1 } { x }-1 $; $ f' (x)=0\Leftrightarrow x=1 $.
Hàm số đồng biến trên khoảng $ (0;1) $ và nghịch biến trên khoảng $ (1;+\infty ) $.
Do đó $ f(x)\leq f(1)=0 $ với mọi $ x>0 $ hay $ \ln x\leq x-1 $ với mọi $ x>0 $.