Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 43

Cách 1. Xét thiết diện cắt cốc thủy tinh vuông góc với đường kính tại vị trí bất kỳ có: $S\left( x \right)=\frac{1}{2}\sqrt{R^{2} -x^{2} }.\sqrt{R^{2} -x^{2} }.\tan \alpha$ $\Rightarrow S\left( x \right)=\frac{1}{2}\left( R^{2} -x^{2} \right)\tan \alpha$.
Thể tích hình cái nêm là: $V=\frac{1}{2}\tan \alpha \int _{ -R }^{R} { \left( R^{2} -x^{2} \right) } { \rm{ d } }x=\frac{2}{3}R^{3} \tan \alpha$.
Thể tích khối nước tạo thành khi nguyên cốc có hình dạng cái nêm nên $V_{kn}=\frac{2}{3}R^{3} \tan \alpha$. $\Rightarrow V_{kn}=\frac{2}{3}R^{3} .\frac{h}{R}=240\,{ \rm{ c } }{ \rm{ m } }^{{ \rm{ 3} } }$.
Cách 2. Dựng hệ trục tọa độ $Oxyz$

Gọi $S\left( x \right)$ là diện tích thiết diện do mặt phẳng có phương vuông góc với trục $Ox$ với khối nước, mặt phẳng này cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $h\geq x\geq 0$.
Gọi $\widehat { IOJ }=\alpha ,\, \widehat { FHN }=\beta ,\,OE=x$
$\tan \alpha =\frac{IJ}{OJ}=\frac{6}{10}=\frac{EF}{OE}$ $\Rightarrow EF=\frac{6x}{10}$ $\Rightarrow HF=6-\frac{6x}{10}$.
$\cos \beta =\frac{HF}{HN}=\frac{6-\frac { 6x}{10} } { 6 }=1-\frac{x}{10}$; $\beta =arccos\left( 1-\frac{x}{10} \right)$
$S\left( x \right)=S_{ \left( hinh\,quat \right) } -S_{HMN}=\frac{1}{2}HN^{2} .2\beta -\frac{1}{2}HM.HN.\sin 2\beta$
$\Rightarrow S\left( x \right)=6^{2} arccos\left( 1-\frac{x}{10} \right)-\frac{1}{2}.6.6.2\left( 1-\frac{x}{10} \right)\sqrt{1-\left( 1-\frac{x}{10} \right)^{2} }$
$\Rightarrow V=\int _{0}^{10} { S\left( x \right){ \rm{ d } }x }=\int _{0}^{10} { \left ( { 36arccos\left( 1-\frac{x}{10} \right)-36\left( 1-\frac{x}{10} \right)\sqrt{1-\left( 1-\frac{x}{10} \right)^{2} } } \right ){ \rm{ d } }x }=240$.