Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 44
Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm $2015$. Nền sân là một elip $\left( E \right)$ có trục lớn dài $150m$, trục bé dài $90m$ (hình 3). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của $\left( E \right)$ và cắt elip ở $M,N$ (hình 3) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm $I$ (phần tô đậm trong hình 4) với $MN$ là một dây cung và góc $\widehat { MIN }=90^{0} .$ Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
Chọn hệ trục như hình vẽ
Ta cần tìm diện tích của $S\left( x \right)$ thiết diện.
Gọi $d\left( O,MN \right)=x$
$\left( E \right):\frac{x^{2}}{75^{2} }+\frac{y^{2}}{45^{2} }=1.$
Lúc đó $MN=2y=2\sqrt{45^{2} \left( 1-\frac{x^{2}}{75^{2} } \right) }=90\sqrt{1-\frac{x^{2}}{75^{2} } }$
$\Rightarrow R=\frac{MN}{\sqrt{2} }=\frac{90}{\sqrt{2} }.\sqrt{1-\frac{x^{2}}{75^{2} } }\Rightarrow R^{2} =\frac{90^{2}}{2}.\left( 1-\frac{x^{2}}{75^{2} } \right)$
$S\left( x \right)=\frac{1}{4}\pi R^{2} -\frac{1}{2}R^{2} =\left( \frac{1}{4}\pi -\frac{1}{2} \right)R^{2} =\left( \pi -2 \right)\frac{2025}{2}.\left( 1-\frac{x^{2}}{75^{2} } \right).$
Thể tích khoảng không cần tìm là
$V=\int_{-75}^{75}\left(\pi-2\right)\frac{2025}{2}\left(1-\frac{x^2}{75^2}\right)\,dx
=101250\left(\pi-2\right)\approx115586\,m^3$.
