Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 45
Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới bạn An đã làm một cái mũ “cách điệu” cho ông già Noel có hình dáng là một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của cái mũ có hình vẽ như bên dưới. Biết rằng: $OO'=5cm,OA=10cm,OB=20cm$ đường cong $AB$ là một phần của parabol có đỉnh là điểm $A$. Thể tích của chiếc mũ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Xây dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Chia khối tròn xoay thành hai phần. Phần thứ nhất là khối trụ có bán kính $5\,cm$, chiều cao $20\,cm$, nên
$V_1=\pi\cdot5^2\cdot20=500\pi\,(cm^3)$.
Trong hệ trục đã chọn, parabol có đỉnh $A(10;0)$ và đi qua $B(0;20)$, nên
$y=\frac{(x-10)^2}{5}$.
Trên nhánh tạo đường sinh của mũ,
$x=10-\sqrt{5y}$, với $0\le y\le20$.
Do đó thể tích phần thứ hai là
\[
\begin{aligned}
V_2
&=\pi\int_0^{20}\left(10-\sqrt{5y}\right)^2\,dy\\
&=\pi\int_0^{20}\left(100+5y-20\sqrt{5y}\right)\,dy\\
&=\frac{1000\pi}{3}\,(cm^3).
\end{aligned}
\]
Vậy thể tích của chiếc mũ là
$V=V_1+V_2=\frac{2500\pi}{3}\,(cm^3)$.
Ghi chú: đây là Lời giải dựa theo Lời giải của trường PTTH Quảng Xương. Tuy nhiên chỗ dấu bằng xảy ra chưa chỉ ra được hàm số nào thỏa.
