Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 46

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gắn hệ trực toạ độ $Oxy$ vào hình vẽ như bên dưới.

Gọi $I$ là trung điểm $AB$, $X$ là điểm chính giữa dây cung $AB$, $K$ là điểm chính giữa dây cung $AX$ và $L$ là hình chiếu vuông góc của $K$ lên trục $Oy$.
Khi đó $A\left( 0;2 \right),B\left( 2;0 \right),I\left( 1;1 \right),X\left( 2;2 \right)$. Đường thẳng $AX:y=2$.
Ta có $IK=R=\sqrt{2}$ và $AO=2$ suy ra $AL=\sqrt{2}-1$. Suy ra $K\left( 1;\sqrt{2}+1 \right)$.
Đường tròn đường kính $AB$ có phương trình là $\left( x-1 \right)^{2} +\left( y-1 \right)^{2} =2$.
Cung $\overset ⌢ { XB }$ có phương trình: $x=1+\sqrt{2-\left( y-1 \right)^{2} }$.
Cung $\overset ⌢ { XK }$ có phương trình: $x=1+\sqrt{2-\left( y-1 \right)^{2} }$.
Cung $\overset ⌢ { AK }$ có phương trình: $x=1-\sqrt{2-\left( y-1 \right)^{2} }$.
Gọi $H_{1}$ là hình phẳng tạo bởi dây cung $XB$, đường thẳng $AX$ và hai trục toạ độ.
Gọi $H_{2}$ là hình phẳng tạo bởi dây cung $AX$ và đường thẳng $AX$.
Gọi $V_{1},V_{2}$ lần lượt là thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình $H_{1},H_{2}$ khi quay quanh trục $Oy$.
Ta có
$V_{1}=\pi \int _{0}^{2} { \left[ 1+\sqrt{2-\left( y-1 \right)^{2} } \right] }^{2} { \rm{ d } }y=\pi \int _{0}^{2} { \left[ 3-\left( y-1 \right)^{2} +2\sqrt{2-\left( y-1 \right)^{2} } \right] } { \rm{ d } }y \\ \,\,\,\,\,\,=\left[3y-\frac13(y-1)^3\right]_0^2 +2\pi \int _{0}^{2} { \sqrt{2-\left( y-1 \right)^{2} } } { \rm{ d } }y=\frac{16\pi}{3}+2\pi \int _{0}^{2} { \sqrt{2-\left( y-1 \right)^{2} } } { \rm{ d } }y.$
Đặt $y-1=\sqrt{2}\sin t$, với $-\frac{\pi}{2}\leq t\leq \frac{\pi}{2}$. Suy ra ${ \rm{ d } }y=\sqrt{2}\cos t\,{ \rm{ d } }t$. Khi đó
$\int _{0}^{2} { \sqrt{2-\left( y-1 \right)^{2} } } { \rm{ d } }y=\int _{ -\frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{4} } { 2\cos^{2} t } { \rm{ d } }{ \rm{ t } }=\int _{ -\frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{4} } { \left( 1+\cos 2t \right) } { \rm{ d } }{ \rm{ t } }=\left[t+\frac12\sin 2t\right]_{-\pi/4}^{\pi/4} =\frac{\pi}{2}+1$.
Suy ra $V_{1}=\frac{16\pi}{3}+2\pi +\pi^{2}$.
Ta có $V_{2}=\pi \int _{2}^{1+\sqrt{2} } { \left[ \left ( { 1+\sqrt{2-\left( y-1 \right)^{2} } } \right )^{2} -\left ( { 1-\sqrt{2-\left( y-1 \right)^{2} } } \right )^{2} \right] }{ \rm{ d } }y=\pi \int _{2}^{1+\sqrt{2} } { 4\sqrt{2-\left( y-1 \right)^{2} } }{ \rm{ d } }y$.
Đặt $y-1=\sqrt{2}\sin t$, với $-\frac{\pi}{2}\leq t\leq \frac{\pi}{2}$. Suy ra ${ \rm{ d } }y=\sqrt{2}\cos t\,{ \rm{ d } }t$. Khi đó
$V_{2}=4\pi \int _{ \frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{2} } { 2\cos^{2} t } { \rm{ d } }{ \rm{ t } }=4\pi \int _{ \frac{\pi}{4} }^{\frac{\pi}{2} } { \left( 1+\cos 2t \right) } { \rm{ d } }{ \rm{ t } }=4\pi \left[t+\frac12\sin 2t\right]_{\pi/4}^{\pi/2} =4\pi \left( \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \right)=\pi^{2} -2\pi$.
Do tính đối xứng của hình nên thể tích toàn khối là $V=2\left( V_{1}+V_{2}\right)=\frac{32\pi}{3}+4\pi^{2}$.