Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 47

Đặt hệ toạ độ $Oxyz$ như hình vẽ, xét mặt cắt song song với mp $\left( Oyz \right)$ cắt trục $Ox$ tại $x$: thiết diện mặt cắt luôn là hình vuông có cạnh $\sqrt{a^{2} -x^{2} }$ $\left( 0\leq x\leq a \right)$.
Do đó thiết diện mặt cắt có diện tích: $S\left( x \right)=a^{2} -x^{2}$.
Vậy $V_{ \left( H \right) } =\int _{0}^{a} { S\left( x \right){ \rm{ d } }x }$$=\int _{0}^{a} { \left( a^{2} -x^{2} \right){ \rm{ d } }x }$$=\left | { \left( a^{2} x-\frac{x^{3}}{3} \right) } \right ._{0}^{a}$$=\frac{2a^{3}}{3}$.