Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 42
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị tạo với trục hoành các miền có diện tích $S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$ (như hình vẽ) và $S_{1}=S_{4}=10,\,\,S_{2}=S_{3}=8,$ Biết tích phân $I=\int _{ \sqrt[3]{e^{4} } }^{e ^ { 2} } { \frac{f\left( 3\ln x-4 \right)+1}{x} }dx=\frac{a}{b}$ với $a,b\in \mathbb{Z};\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tích $a.b$:
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $I=\int _{ \sqrt[3]{e^{4} } }^{e ^ { 2} } { \frac{f\left( 3\ln x-4 \right)+1}{x} }dx=\int _{ \sqrt[3]{e^{4} } }^{e ^ { 2} } { \frac{f\left( 3\ln x-4 \right)}{x} }dx+\int _{ \sqrt[3]{e^{4} } }^{e ^ { 2} } { \frac{1}{x} }dx=I_{1}+I_{2}.$
Xét $I_{1}=\int _{ \sqrt[3]{e^{4} } }^{e ^ { 2} } { \frac{f\left( 3\ln x-4 \right)}{x} }dx$
Đặt $t=3\ln x-4\Leftrightarrow \frac{3}{x}dx=dt$. Với $x=\sqrt[3]{e^{4} }\to t=0;x=e^{2} \to t=2.$
Tính $I_{1}=\frac{1}{3}\int _{0}^{2} { f\left( t \right)dt=\frac{1}{3}\left[ \int _{0}^{\frac{1}{2} } { f\left( t \right)dt+\int _{ \frac{1}{2} }^{1} { f\left( t \right)dt+\int _{1}^{2} { f\left( t \right)dt } } } \right]=\frac{1}{3}\left( -8+8-10 \right)=\frac{-10}{3}. }$
Tính $I_{2}=\int _{ \sqrt[3]{e^{4} } }^{e ^ { 2} } { \frac{1}{x} }dx=\frac{2}{3}.$
Khi đó $I=I_{1}+I_{2}=\frac{-8}{3}\Rightarrow p=a.b=-24.$
