Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 41
Cho hàm số bậc bốn $y=f\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong (như hình vẽ bên dưới). Biết hàm số đạt cực trị tại ba điểm $x_{1},x_{2},x_{3}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có công sai là $2$. Gọi $S_{1}$ là diện tích phần gạch chéo, $S_{2}$ là diện tích phần tô đậm. Tỉ số $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Tịnh tiến đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ theo vecto $\overset\rightarrow { v }=\left( -x_{2};0 \right)$, ta được đồ thị hàm số $y=g\left( x \right)$.
Từ đề bài, ba điểm $x_{1},x_{2},x_{3}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có công sai bằng $2$ nên ta có $x_{1}=-2;\,x_{3}=2$.
$\Rightarrow g'\left( x \right)=k.x.\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\Rightarrow g\left( x \right)=k\left( \frac{x^{4}}{4}-2x^{2} \right)+C\,\,\,\,\left( k>0 \right).$
Do $g\left( 0 \right)=0\Rightarrow C=0\Rightarrow g\left( x \right)=k\left( \frac{x^{4}}{4}-2x^{2} \right)$. Khi đó : $S_{1}=\int _{ -2 }^{0} { -g\left( x \right) }{ \rm{ d } }x=\frac{56k}{15}$.
Mặt khác, $g\left( 2 \right)=-4k\Rightarrow S_{OABC}=8k\Rightarrow \frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\frac { 56}{15}k } { 2.\left( 8k-\frac{56}{15}k \right) }=\frac{7}{16}.$
