Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 40

Tọa độ giao điểm của ĐTHS $my=x^{2}$ và $mx=y^{2}$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{array}{l} my=x^{2} \\ mx=y^{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y=\frac{x^{2}}{m} \\ mx=\frac{x^{4}}{m^{2} } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=0 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x=m \\ y=m \end{array} \right. \right.$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $my=x^{2} ,\,mx=y^{2} \,\,\left( m>0 \right)$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS $y=\frac{x^{2}}{m}$ và ĐTHS $y=\sqrt{mx}$ (là phần tô đậm trong hình vẽ).
$\Rightarrow S=\int _{0}^{m} { \left| \frac{x^{2}}{m}-\sqrt{mx} \right|{ \rm{ d } }x }=\int _{0}^{m} { \left( \sqrt{mx}-\frac{x^{2}}{m} \right){ \rm{ d } }x }=\frac{2}{3}\sqrt{m}.x\sqrt{x}-\frac{x^{3}}{3m}\mid m \\ 0=\frac{m^{2}}{3}$
Khi đó, $S=3\Leftrightarrow \frac{m^{2}}{3}=3\Leftrightarrow m=3$ (do $m>0$).
Vậy $m=3$.