Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 39

Vì $\left( C \right)$ nhận đường thẳng $d:x=x_{2}$ làm trục đối xứng nên $x_{1}+x_{3}=2x_{2};f\left( x_{1}\right)=f\left( x_{3}\right)$.
Mà $x_{3}=x_{1}+2$ nên $x_{3}-x_{2}=1$ $\left( 1 \right)$.
Ta có: $f\left( x_{1}\right)+f\left( x_{3}\right)+\frac{2}{3}f\left( x_{2}\right)=0\Leftrightarrow 2f\left( x_{3}\right)+\frac{2}{3}f\left( x_{2}\right)=0\Leftrightarrow f\left( x_{2}\right)=-3f\left( x_{3}\right)$ $\left( 2 \right)$.
Gọi $I(x_{2};0)$. Tịnh tiến hệ toạ độ $Oxy$ theo vecto $\overset\rightarrow { OI }$ ta được hệ toạ độ $IXY$.
Trong hệ toạ độ $IXY$, đồ thị $\left( C \right)$ có phương trình $Y=G\left( X \right)$ đạt cực trị tại $\pm 1;0$ ( do $\left( 1 \right)$) và $G\left( 0 \right)=-3G\left( 1 \right)$ ( do $\left( 2 \right)$).
Do đó: $G'(X)=4a(X^{3} -X)$ ( với $a\neq 0$) $\Rightarrow G\left( X \right)=a(X^{4} -2X^{2} +C)$.
Mà $G\left( 0 \right)=-3G\left( 1 \right)$ nên $aC=-3a(-1+C)\Leftrightarrow C=\frac{3}{4}$.
Vậy $G\left( X \right)=a(X^{4} -2X^{2} +\frac{3}{4})$.
Đồ thị $G\left( X \right)=a(X^{4} -2X^{2} +\frac{3}{4})$ cắt trục $IX$ tại 4 điểm phân biệt có hoành độ $\pm \frac{\sqrt{2}}{2};\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$. Ta có:
$\frac{S_{1}+S_{2}}{S_{3}+S_{4}}=\frac{a\left[ \int _{0}^{\frac { \sqrt{2}}{2} } { \left( x^{4} -2x^{2} +\frac{3}{4} \right) }dx-\int _{ \frac{\sqrt{2}}{2} }^{1} { \left( x^{4} -2x^{2} +\frac{3}{4} \right) }dx \right] } { \left( \frac{3}{4}a+\frac{1}{3}.\frac{3}{4}a \right).1-a\left[ \int _{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2} } { \left( x^{4} -2x^{2} +\frac{3}{4} \right) }dx-\int _{ \frac{\sqrt{2}}{2} }^{1} { \left( x^{4} -2x^{2} +\frac{3}{4} \right) }dx \right] }\approx 0,60$.