(CD12) Cho hình hộp chữ nhật $ ABCD.A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } D ^ { ′ } $ có $ AB=2a,AD=3a,AA ^ { ′ } =4a(a>0) $. Gọi $ M,N,P $ lần lượt là các điểm thuộc các tia $ AB,AD,AA ^ { ′ } $ sao cho $ AM=a $, $ AN=2a,AP=3a $. Tính khoảng cách từ điểm $ C ^ { ′ } $ đến mặt phẳng $ (MNP) $.
Xem lời giải
Lời giải
Xét hệ trục toạ độ $ Oxyz $ thoả mãn $ A(0;0;0) $ trùng gốc $ O,B(2a;0;0),D(0;3a;0),A ^ { ′ } (0;0;4a) $
Ta có: $ M(a;0;0),N(0;2a;0),P(0;0;3a) $, $ C ^ { ′ } (2a;3a;4a) $.
Phương trình mặt phẳng $ (MNP) $ là:
$ \frac { x } { a }+\frac { y } { 2a }+\frac { z } { 3a }=1\Leftrightarrow \frac { x } { a }+\frac { y } { 2a }+\frac { z } { 3a }-1=0. $
Khoảng cách từ điểm $C'$ đến mặt phẳng $ (MNP) $ bằng:
$ \frac { \left | { \frac { 2a } { a }+\frac { 3a } { 2a }+\frac { 4a } { 3a }-1 } \right | } { \sqrt[] { \left ( { \frac { 1 } { a } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { 2a } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 1 } { 3a } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 23a } { 7 }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
