Bài tự luận Phương trình mặt phẳng · Bài 34

Chọn hệ toạ độ $ Oxyz $ sao cho gốc toạ độ $ O $ trùng với điểm $ D $. Khi đó, toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật $ ABCD\cdot A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } D ^ { ′ } $ lần lượt là $ D(0;0;0),A(2;0;0) $, $ C(0;3;0),B(2;3;0),D ^ { ′ } (0;0;2),A ^ { ′ } (2;0;2),B ^ { ′ } (2;3;2),C ^ { ′ } (0;3;2) $.
Mặt phẳng $ \left ( { BA ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right ) $ có cặp vectơ chỉ phương là $ \overset\rightarrow { BA ^ { ′ } }=(0;-3;2) $; $ \overset\rightarrow { BC ^ { ′ } }=(-2;0;2) $. Ta có $ \left[ \overset\rightarrow { BA ^ { ′ } },\overset\rightarrow { BC ^ { ′ } } \right]=(-6;-4;-6) $, suy ra $ \left ( { BA ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right ) $ có vectơ pháp tuyến là $ n=-\frac { 1 } { 2 }\left[ \overset\rightarrow { BA ^ { ′ } },\overset\rightarrow { BC ^ { ′ } } \right]=(3;2;3) $. Phương trình của $ \left ( { BA ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right ) $ là $ 3(x-2)+2(y-3)+3z=0 $ hay $ 3x+2y+3z-12=0 $.
Khoảng cách từ đỉnh $ B ^ { ′ } $ đến mặt phẳng $ \left ( { BA ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right ) $ là
$ d\left ( { B ^ { ′ } ,\left ( { BA ^ { ′ } C ^ { ′ } } \right ) } \right )=\frac { \|3.2+2.3+3.2-12\| } { \sqrt[] { 3 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +3 ^ { 2 } } }=\frac { 6 } { \sqrt[] { 22 } }=\frac { 3\sqrt[] { 22 } } { 11 }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $