(CD12) Hình sau minh hoạ hình ảnh một toà nhà trong không gian với hệ toạ độ $ Oxyz $ (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Biết $ A(50;0;0),D(0;20;0),B(4k;3k;2k) $ với $ k>0 $ và mặt phẳng $ (CBEF) $ có phương trình là $ z=3 $.
a) Tìm toạ độ của điểm $ B $.
b) Lập phương trình mặt phẳng $ (AOBC) $.
c) Lập phương trình mặt phẳng $ (DOBE) $.
d) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng $ (AOBC) $ và $ (DOBE) $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $ B(4k;3k;2k) $ thuộc mặt phẳng $ (CBEF) $: $ z=3 $ nên $ 2k=3 $, suy ra $ k=\frac { 3 } { 2 } $. Vậy $ B\left ( { 6;\frac { 9 } { 2 };3 } \right ) $
b) Ta có: $ \overset\rightarrow { OA }=(50;0;0),\overset\rightarrow { OB }=\left ( { 6;\frac { 9 } { 2 };3 } \right ) $ nên
$ [\overset\rightarrow { OA },\overset\rightarrow { OB }]=\left ( { \left | { \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ \frac { 9 } { 2 } & 3 \\ \end{array} } \right |;\left | { \begin{array}{ll} 0 & 50 \\ 3 & 6 \\ \end{array} } \right |;{ \rm{ } }\left | { \begin{array}{ll} 50 & 0 \\ 6 & \frac { 9 } { 2 } \\ \end{array} } \right | } \right )=(0;-150;225). $
Suy ra $ n=(0;-2;3) $ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ (AOBC) $.
Vậy phương trình mặt phẳng $ (AOBC) $ là:
$ 0\cdot (x-0)+(-2)\cdot (y-0)+3\cdot (z-0)=0\Leftrightarrow 2y-3z=0. $
c) Ta có: $ \overset\rightarrow { OD }=(0;20;0),\overset\rightarrow { OB }=\left ( { 6;\frac { 9 } { 2 };3 } \right ) $ nên
$ [\overset\rightarrow { OD },\overset\rightarrow { OB }]=\left ( { \left | { \begin{array}{ll} 20 & 0 \\ \frac { 9 } { 2 } & 3 \\ \end{array} } \right |;\left | { \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 3 & 6 \\ \end{array} } \right |;\left | { \begin{array}{ll} 0 & 20 \\ 6 & \frac { 9 } { 2 } \\ \end{array} } \right | } \right )=(60;0;-120){ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Suy ra $ u=(1;0;-2) $ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $ (DOBE) $.
Vậy phương trình mặt phẳng $ (DOBE) $ là:
$ 1\cdot (x-0)+0\cdot (y-0)+(-2)\cdot (z-0)=0\Leftrightarrow x-2z=0{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
d) Một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng $ (AOBC) $ và $ (DOBE) $ lần lượt là: $ p=(0;2;-3) $ và $ q=(-1;0;2) $
