(CD12) Trong không gian với hệ toạ độ $ Oxyz $, cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình chữ nhật và các điểm $ A(0;0;0),B(a;0;0) $, $ D(0;b;0),S(0;0;c) $ với $ a,b,c $ là các số dương
a) Tìm tọa độ của điểm $ C $, trung điểm $ M $ của $ BC $, trọng tâm $ G $ của tam giác $ SCD $.
b) Lập phương trình mặt phẳng $ (SBD) $.
c) Tính khoảng cách từ điểm $ G $ đến mặt phẳng $ (SBD) $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $ \overset\rightarrow { AB }=(a;0;0) $ và $ \overset\rightarrow { DC }=\overset\rightarrow { AB } $, suy ra $ \overset\rightarrow { DC }=(a;0;0) $.
Mà $ D(0;b;0) $ nên $ C(a;b;0) $.
Vì $ B(a;0;0),C(a;b;0) $ nên trung điểm $ M $ của $ BC $ có toạ độ là $ \left ( { a;\frac { b } { 2 };0 } \right ) $.
Vì $ S(0;0;c),C(a;b;0),D(0;b;0) $ nên trọng tâm $ G $ của tam giác $ SCD $ có toạ độ là $ \left ( { \frac { a } { 3 };\frac { 2b } { 3 };\frac { c } { 3 } } \right ) $.
b) Phương trình mặt phẳng $ (SBD) $ là: $ \frac { x } { a }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }=1\Leftrightarrow \frac { x } { a }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }-1=0 $.
c) Khoảng cách từ điểm $ G $ đến mặt phẳng $ (SBD) $ là:$ \frac { \left | { \frac { \frac { a } { 3 } } { a }+\frac { \frac { 2b } { 3 } } { b }+\frac { \frac { c } { 3 } } { c }-1 } \right | } { \sqrt[] { \frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { b ^ { 2 } }+\frac { 1 } { c ^ { 2 } } } }=\frac { abc } { 3\sqrt[] { a ^ { 2 } b ^ { 2 } +b ^ { 2 } c ^ { 2 } +c ^ { 2 } a ^ { 2 } } } $
