Bài tự luận · Bài 31
Dạng 3. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Bài tự luận Phương trình mặt phẳng · Bài 31
(CD12) Cho hai mặt phẳng $ \left ( { P_{ 1 } } \right ):x+2y-3z+5=0 $ và $ \left ( { P_{ 2 } } \right ):-4x-8y+12z+3=0 $.
a) Chứng minh rằng $ \left ( { P_{ 1 } } \right )//\left ( { P_{ 2 } } \right ) $.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $ \left ( { P_{ 1 } } \right ),\left ( { P_{ 2 } } \right ) $.
a) Chứng minh rằng $ \left ( { P_{ 1 } } \right )//\left ( { P_{ 2 } } \right ) $.
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $ \left ( { P_{ 1 } } \right ),\left ( { P_{ 2 } } \right ) $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $ n_{ 1 } =(1;2;-3),n_{ 2 } =(-4;-8;12) $ lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng $ \left ( { P_{ 1 } } \right ),\left ( { P_{ 2 } } \right ) $. Do $ n_{ 2 } =-4n_{ 1 } ,3\neq (-4).5 $ nên $ \left ( { P_{ 1 } } \right )//\left ( { P_{ 2 } } \right ) $.
b) Chọn điểm $ M_{ 0 } \left ( { \frac { 3 } { 4 };0;0 } \right )\in \left ( { P_{ 2 } } \right ) $. Suy ra khoảng cách từ điểm $ M_{ 0 } $ đến mặt phẳng $ \left ( { P_{ 1 } } \right ) $ bằng: $ d\left ( { M_{ 0 } ,\left ( { P_{ 1 } } \right ) } \right )=\frac { \left | { \frac { 3 } { 4 }+5 } \right | } { \sqrt[] { 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +(-3) ^ { 2 } } }=\frac { 23\sqrt[] { 14 } } { 56 }. $
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng $ \left ( { P_{ 1 } } \right ),\left ( { P_{ 2 } } \right ) $ bằng $ \frac { 23\sqrt[] { 14 } } { 56 } $.
b) Chọn điểm $ M_{ 0 } \left ( { \frac { 3 } { 4 };0;0 } \right )\in \left ( { P_{ 2 } } \right ) $. Suy ra khoảng cách từ điểm $ M_{ 0 } $ đến mặt phẳng $ \left ( { P_{ 1 } } \right ) $ bằng: $ d\left ( { M_{ 0 } ,\left ( { P_{ 1 } } \right ) } \right )=\frac { \left | { \frac { 3 } { 4 }+5 } \right | } { \sqrt[] { 1 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +(-3) ^ { 2 } } }=\frac { 23\sqrt[] { 14 } } { 56 }. $
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng $ \left ( { P_{ 1 } } \right ),\left ( { P_{ 2 } } \right ) $ bằng $ \frac { 23\sqrt[] { 14 } } { 56 } $.