Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 47
Giả sử một doanh nghiệp sản xuất và tiêu thụ một loại sản phẩm có hàm giá được cho bởi: $p(x)=1400-7,5x$ (USD),
với $x$ ($0<x\leq 186$) là số lượng sản phẩm được sản xuất (mức sản xuất). Biết hàm chi phí bình quân là: $c(x)=x^2-6x+140+\frac{750}{x}$ (USD/sản phẩm).
Tìm mức sản xuất tối ưu hoá lợi nhuận và xác định lợi nhuận tối ưu đó.
Xem lời giải
Lời giải
Theo bài toán, ta có tổng chi phí, tổng doanh thu và lợi nhuận lần lượt là:
$C(x)=x\cdot c(x)=x\left(x^2-6x+140+\frac{750}{x}\right)=x^3-6x^2+140x+750\\ R(x)=x\cdot p(x)=x(1400-7,5x)=-7,5x^2+1400x\\ P(x)=R(x)-C(x)=\left(-7,5x^2+1400x\right)-\left(x^3-6x^2+140x+750\right)=-x^3-1,5x^2+1260x-750$.
Ta cần tìm mức sản xuất tối ưu hoá lợi nhuận, tức là tìm $x$ trong khoảng $(0;186]$ để $P(x)$ lớn nhất. Vì $P'(x)=-3x^2-3x+1260$ nên $P'(x)=0\Leftrightarrow -3x^2-3x+1260=0\Leftrightarrow x=20$.
Bảng biến thiên:
Do đó $P(x)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $P(20)=15850$ tại $x=20$.
Vậy mức sản xuất tối ưu hoá lợi nhuận là 20 sản phẩm với lợi nhuận tối ưu là 15850 USD.
