Bài tự luận Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 7

a) Kẻ $BH\perp AC$ tại $H$, mà $SA\perp(ABC)$ nên $SA\perp BH$, suy ra $BH\perp(SAC)$. Do đó, $SH$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ trên mặt phẳng $(SAC)$ nên góc giữa
đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $SH$, mà $(SB,SH)=\widehat{BSH}$.
Ta tính được: $BH=\frac{a\sqrt{2}}{2},SH=\frac{a\sqrt{26}}{2}$, suy ra $\tan\widehat{BSH}=\frac{BH}{SH}=\frac{\sqrt{13}}{13}$.
b) Kẻ $AK\perp SB$ tại $K$, mà $BC\perp(SAB)$ nên $BC\perp AK$, suy ra $AK\perp(SBC)$. Do đó $CK$ là hình chiếu vuông góc của $AC$ trên $(SBC)$, suy ra góc giữa đường thẳng $AC$ và $(SBC)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $CK$, mà $(AC,CK)=\widehat{ACK}$.
Ta có: $AK=\frac{SA\cdot AB}{SB}=a\sqrt{\frac{6}{7}}$, suy ra $\sin\widehat{ACK}=\frac{AK}{AC}=\sqrt{\frac{3}{7}}$.