Bài tự luận · Bài 6
Dạng 1. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp: Đưa bài toán về xác định góc giũa hai đường thẳng, cu thể là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Bài tự luận Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 6
(KNTT11) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a,SA\perp(ABCD)$, $SA=a\sqrt{2}$.
a) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.
b) Tính tang của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$.
a) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.
b) Tính tang của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $SA\perp(ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt phẳng $(ABCD)$, do đó góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $SC$ và $AC$, mà $(SC,AC)=\widehat{SCA}$. Vì tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat{SCA}=45^\circ$. Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^\circ$.
b) Ta có: $BC\perp AB,BC\perp SA$ nên $BC\perp(SAB)$, suy ra $SB$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt phẳng $(SAB)$, góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $SC$ và $SB$.
Ta có: $(SB,SC)=\widehat{BSC}$. Xét tam giác $SBC$ vuông tại $B$, có:
$SB=\sqrt{SA^{2}+AB^{2}}=a\sqrt{3},BC=a.$
Do đó, $\tan\widehat{BSC}=\frac{BC}{SB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Vậy tang của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$ bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$.